2010-辽宁卷理-09 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的基础几何性质，核心在于根据直线垂直的几何条件建立 $a,b,c$ 之间的齐次代数方程，进而求得离心率 $e$。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理9）设双曲线的一个焦点为 $F$，虚轴的一个端点为 $B$，如果直线 $FB$ 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 不妨设双曲线标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，设焦点 $F(c,0)$，虚轴端点 $B(0,b)$。
2. 求出直线 $FB$ 的斜率 $k_1=-\frac{b}{c}$。
3. 双曲线渐近线斜率为 $k_2=\frac{b}{a}$，由垂直条件 $k_1\cdot k_2=-1$ 建立 $a,b,c$ 的关系。
4. 利用 $b^2=c^2-a^2$ 转化为关于离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的一元二次方程求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解： 设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$。

取焦点 $F(c,0)$，虚轴端点 $B(0,b)$。 则直线 $FB$ 的斜率为： $k_{FB}=\frac{b-0}{0-c}=-\frac{b}{c}$

双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 因为直线 $FB$ 与其中一条渐近线垂直，且 $k_{FB}<0$，故与之垂直的渐近线斜率必为正，即 $y=\frac{b}{a}x$。

由两直线垂直的条件 $k_1\cdot k_2=-1$ 得： $\left(-\frac{b}{c}\right)\cdot \left(\frac{b}{a}\right)=-1⟹\frac{b^2}{ac}=1⟹b^2=ac$

又因为 $b^2=c^2-a^2$，所以： $c^2-a^2=ac$

等式两边同除以 $a^2$ 得： ${\left(\frac{c}{a}\right)}^2-\frac{c}{a}-1=0⟹e^2-e-1=0$

解得： $e=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

因为离心率 $e>1$，舍去负根，得： $e=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

故选 D>

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线方程、直线垂直的斜率关系、离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的方程求解。
2. 核心方法：齐次化变形，将 $a,b,c$ 之间的关系转化为关于 $e$ 的代数方程。
3. 避坑指南：注意双曲线中 $c^2=a^2+b^2$（即 $b^2=c^2-a^2$），切勿与椭圆中的关系混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查圆锥曲线几何元素（焦点、虚轴顶点、渐近线）之间的特定位置关系，黄金分割比 $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 是双曲线离心率中的经典常数。
2. 结论推广：若双曲线焦点到虚轴端点连线与渐近线垂直，则其离心率必定为黄金分割数 $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-03 填-双曲线
• 2011-上海卷理-23 解-双曲线
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线