2010-辽宁卷理-10 单-几何证明

本题导读

本题考查利用导数求曲线切线的斜率范围，并结合正切函数的单调性确定切线倾斜角的取值范围。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理10）已知点 $P$ 在曲线 $y=\frac{4}{{\mathrm{e}}^x+1}$ 上，$\alpha$ 为曲线在点 $P$ 处的切线的倾斜角，则 $\alpha$ 的取值范围是()

A. $\left[0,\frac{\pi }{4}\right)$　　　　B. $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$　　　　C. $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right]$　　　　D. $\left[\frac{3\pi }{4},\pi \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对函数求导，得到切线斜率 $k=y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ 的代数表达式。
2. 引入中间变量 $t={\mathrm{e}}^x>0$，将 $y^{\prime }$ 转化为关于 $t$ 的分式，利用基本不等式求出 $k$ 的取值范围。
3. 根据 $\tan \alpha =k$ 且 $\alpha \in [0,\pi )$，确定倾斜角 $\alpha$ 的范围。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 对 $y=\frac{4}{{\mathrm{e}}^x+1}$ 求导得： $y^{\prime }=\frac{-4\cdot {\mathrm{e}}^x}{({\mathrm{e}}^x+1{)}^2}$

设 $t={\mathrm{e}}^x>0$，则切线斜率 $k$ 为： $k=\frac{-4t}{(t+1{)}^2}=\frac{-4}{t+\frac{1}{t}+2}$

因为 $t>0$，由基本不等式得 $t+\frac{1}{t}\ge 2\sqrt{t\cdot \frac{1}{t}}=2$（当且仅当 $t=1$ 即 $x=0$ 时取等号）。

所以： $t+\frac{1}{t}+2\ge 4$

因此： $0>\frac{-4}{t+\frac{1}{t}+2}\ge \frac{-4}{4}=-1$ 即斜率 $k\in [-1,0)$。

设切线的倾斜角为 $\alpha (\alpha \in [0,\pi ))$，则： $\tan \alpha =k\in [-1,0)$

结合正切函数图像性质可得： $\alpha \in \left[\frac{3\pi }{4},\pi \right)$

故选 D>

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（$k=f^{\prime }(x_0)$）、利用基本不等式求最值、倾斜角与斜率关系 $\tan \alpha =k$。
2. 核心方法：换元法（设 $t={\mathrm{e}}^x$）配合基本不等式求函数值域。
3. 避坑指南：注意倾斜角 $\alpha$ 位于第二象限时（$\tan \alpha <0$），角度范围为 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，切勿错选成第一象限的区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 Sigmoid 函数型导数切线性质考查，切线斜率受函数变化率最大值的限制。
2. 结论推广：对 $y=\frac{A}{{\mathrm{e}}^x+1}(A>0)$，其切线斜率最小值发生在 $x=0$ 处，最小斜率为 $k_{\text{min}}=-\frac{A}{4}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-大纲卷理-22 解-导数不等式
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式