2010-辽宁卷理-11 单-导数

本题导读

本题考查一元一次方程求解与二次函数最值条件的等价转化，重点在于理解“充要条件”在代数最值命题中的逻辑对应。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理11）已知 $a>0$，则 $x_0$ 满足关于 $x$ 的方程 $ax=b$ 的充要条件是()

A. $\exists x\in \mathbf{R},\frac{1}{2}a{x}^2-bx\ge \frac{1}{2}a{x}_0^2-b{x}_0$

B. $\exists x\in \mathbf{R},\frac{1}{2}a{x}^2-bx\le \frac{1}{2}a{x}_0^2-b{x}_0$

C. $\forall x\in \mathbf{R},\frac{1}{2}a{x}^2-bx\ge \frac{1}{2}a{x}_0^2-b{x}_0$

D. $\forall x\in \mathbf{R},\frac{1}{2}a{x}^2-bx\le \frac{1}{2}a{x}_0^2-b{x}_0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设二次函数 $g(x)=\frac{1}{2}a{x}^2-bx$。由于 $a>0$，该函数为开口向上的二次函数。
2. 求解其最小值点：利用顶点公式或导数求得极小值点为 $x=\frac{b}{a}$。
3. 方程 $a{x}_0=b$ 即 $x_0=\frac{b}{a}$，等价于 $x_0$ 是函数 $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上的全局最小值点，即对任意 $x\in \mathbf{R}$ 均有 $g(x)\ge g(x_0)$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 构造函数： $g(x)=\frac{1}{2}a{x}^2-bx$

对 $g(x)$ 求导或配方： $g(x)=\frac{1}{2}a{\left(x-\frac{b}{a}\right)}^2-\frac{b^2}{2a}$

因为 $a>0$，抛物线开口向上，所以当且仅当 $x=\frac{b}{a}$ 时，$g(x)$ 取得最小值。 即： $\forall x\in \mathbf{R},g(x)\ge g\left(\frac{b}{a}\right)$

由方程 $a{x}_0=b$ 可得 $x_0=\frac{b}{a}$。 因此，$x_0$ 满足 $a{x}_0=b$ 的充要条件是 $x_0$ 为 $g(x)$ 的最小值点，即： $\forall x\in \mathbf{R},\frac{1}{2}a{x}^2-bx\ge \frac{1}{2}a{x}_0^2-b{x}_0$

故选 C>

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数的开口方向与最值、全称量词（$\forall$）与存在量词（$\exists$）的逻辑含义。
2. 核心方法：变分法思想，将线性方程求解问题等价转化为二次能量函数的极小值求解问题。
3. 避坑指南：注意 $a>0$ 决定了函数存在最小值而非最大值，因此必须是“对任意 $x$ 均大于等于最小值”，排除存在量词及不合方向的不等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自凸优化与泛函分析中的变分原理，一元线性方程 $ax=b$ 对应凸二次函数 $E(x)=\frac{1}{2}a{x}^2-bx$ 的极小值点。
2. 结论推广：对于正定矩阵 $\mathbf{A}$，线性方程组 $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$ 的解等价于二次型 $f(\mathbf{x})=\frac{1}{2}{\mathbf{x}}^T\mathbf{Ax}-{\mathbf{b}}^T\mathbf{x}$ 在全空间上的全局最小值点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性