2010-辽宁卷理-12 单-立体几何

本题导读

本题考查四面体（三棱锥）构型存在性问题。重点在于分析 6 条棱中 4 条长为 2、2 条长为 $a$ 时，保证四面体能够闭合（二面角介于 $0$ 与 $\pi$ 之间）的临界条件。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理12）有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 $a$ 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 $a$ 的取值范围是()

A. $(0,\sqrt{6}+\sqrt{2})$　　　B. $(1,2\sqrt{2})$　　　C. $(\sqrt{6}-\sqrt{2},\sqrt{6}+\sqrt{2})$　　　D. $(0,2\sqrt{2})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 考虑用 6 根铁条搭成三棱锥的连接方式。最宽泛的充要条件只需存在某种拓扑连接方式使其能构成三棱锥即可。
2. 选取“对棱相等”的连接方式：设相对的两条棱长为 $a$（即 $AB=CD=a$），其余四条棱长均为 2（$AC=AD=BC=BD=2$）。
3. 取 $CD$ 的中点 $M$，在等腰三角形 $ACD$ 与 $BCD$ 中计算 $AM$ 与 $BM$ 的长。
4. 结合 $\Delta ABM$ 的三边关系及二面角展开的极限状态得出 $a$ 的取值范围。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解： 四根长为 2、两根长为 $a$ 的铁条要焊成三棱锥，只需存在一种连接方式使其能构成非退化的四面体即可。分两种构型讨论：

构型一（两根 $a$ 为对棱）： 设 $AB=CD=a$，其余四条棱 $AC=AD=BC=BD=2$。 取 $CD$ 中点 $M$，则 $AM=BM=\sqrt{2^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{4-\frac{a^2}{4}}$ 在 $△ABM$ 中需满足 $AM+BM>AB$，即 $2\sqrt{4-\frac{a^2}{4}}>a⟹16-a^2>a^2⟹a^2<8⟹0<a<2\sqrt{2}$

构型二（两根 $a$ 共顶点）： 设从同一顶点 $A$ 出发的两条棱 $AB=AC=a$，其余四条棱 $AD=BD=CD=BC=2$。 此时底面 $BCD$ 为边长为 2 的正三角形，顶点 $A$ 满足 $AB=AC=a,AD=2$。由三角不等式与二面角非退化可得 $\sqrt{6}-\sqrt{2}<a<\sqrt{6}+\sqrt{2}$ （该区间可由将 $A$ 投影到底面及极限展开状态求得）。

两种构型取并集，可行域为 $(0,2\sqrt{2})\cup (\sqrt{6}-\sqrt{2},\sqrt{6}+\sqrt{2})=(0,\sqrt{6}+\sqrt{2})$ （因为 $2\sqrt{2}=\sqrt{8}>\sqrt{6}-\sqrt{2}$， 两区间相接覆盖至 $\sqrt{6}+\sqrt{2}$）。

故选 A>

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三棱锥折叠与构型存在性判定、空间二面角临界状态。
2. 核心方法：

• 结构设计法：优先选择对称性最高的“对棱相等”拓扑关系；
• 极限分析法：利用中线展开成立三角形的充要条件求出边界。

3. 避坑指南：容易将两根长为 $a$ 的铁条误设定为具有公共顶点的邻棱，从而得出更窄的区间 $(\sqrt{6}-\sqrt{2},\sqrt{6}+\sqrt{2})$（对应 C 选项）。题目要求“能够焊接”，只需找到一种可行的连接结构即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自四面体（Cayley-Menger行列式）几何存在性条件，考查空间几何体构建的自由度与临界约束。
2. 结论推广：对棱长分别为 $a,a,2,2,2,2$ 的四面体，当且仅当 $a\in (0,2\sqrt{2})$ 时，体积 $V>0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-15 填-三角形不等式
• 2013-辽宁卷文-21 解-三角不等式与恒成立
• 2014-新课标II卷理-24 解-绝对值三角不等式