2010-辽宁卷理-20 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆标准方程、离心率求解及弦长计算。第一问利用向量共线关系 $\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$ 建立纵坐标比例，代入韦达定理求解离心率；第二问结合弦长公式求椭圆方程。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理20）设椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ }$，$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$.

(1)求椭圆 $C$ 的离心率；

(2)如果 $|AB|=\frac{15}{4}$，求椭圆 $C$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. 左焦点 $F(-c,0)$，直线 $l$ 斜率为 $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$，设 $l:x=\frac{\sqrt{3}}{3}y-c$。
2. 联立椭圆方程得关于 $y$ 的一元二次方程。
3. 由 $\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}⟹y_A=-2y_B$，利用韦达定理消去 $y_1,y_2$ 得到 $a,c$ 的齐次等式，求得 $e=\frac{c}{a}$。
4. 第二问利用弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2|$ 结合 $|AB|=\frac{15}{4}$ 求出基本量 $a,b$。

✅【答案】

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（1）设椭圆的半焦距为𝑐，则𝑐2=𝑎2−𝑏2，左焦点为𝐹=(−𝑐,0).取倾斜角为60∘的直线方向单位向量⎛⎜⎝1

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）左焦点 $F(-c,0)$，直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ }$，斜率 $k=\sqrt{3}$。 设直线 $l$ 的方程为 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}y-c$，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。

联立直线与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{3}}{3}y-c\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}⟹\frac{{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}y-c\right)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

整理得： $(3a^2+b^2)y^2-2\sqrt{3}{b}^{2}cy-3b^4=0$

由韦达定理得： $y_1+y_2=\frac{2\sqrt{3}{b}^{2}c}{3a^2+b^2},y_1{y}_2=\frac{-3b^4}{3a^2+b^2}$

因为 $\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，所以 $(-c-x_1,-y_1)=2(x_2+c,y_2)$，即 $y_1=-2y_2$。

代入韦达定理得： $-y_2=\frac{2\sqrt{3}{b}^{2}c}{3a^2+b^2}⟹y_2=-\frac{2\sqrt{3}{b}^{2}c}{3a^2+b^2}$ $-2y_2^2=\frac{-3b^4}{3a^2+b^2}⟹y_2^2=\frac{3b^4}{2(3a^2+b^2)}$

将 $y_2$ 平方相联立： $\frac{12b^4{c}^2}{(3a^2+b^2{)}^2}=\frac{3b^4}{2(3a^2+b^2)}⟹8c^2=3a^2+b^2$

将 $b^2=a^2-c^2$ 代入得： $8c^2=3a^2+a^2-c^2⟹9c^2=4a^2⟹\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$

故椭圆 $C$ 的离心率为 $e=\frac{2}{3}$。

---

（2）由（1）知 $c=\frac{2}{3}a$，$b^2=a^2-c^2=\frac{5}{9}{a}^2$。

代入韦达定理： $3a^2+b^2=3a^2+\frac{5}{9}{a}^2=\frac{32}{9}{a}^2$ $y_1+y_2=\frac{2\sqrt{3}\left(\frac{5}{9}{a}^2\right)\left(\frac{2}{3}a\right)}{\frac{32}{9}{a}^2}=\frac{5\sqrt{3}}{24}a$ $y_1{y}_2=\frac{-3{\left(\frac{5}{9}{a}^2\right)}^2}{\frac{32}{9}{a}^2}=-\frac{25}{96}{a}^2$

计算 $|y_1-y_2|$： $(y_1-y_2{)}^2=(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2=\frac{75}{576}{a}^2+\frac{100}{96}{a}^2=\frac{675}{576}{a}^2=\frac{75}{64}{a}^2$ $|y_1-y_2|=\frac{5\sqrt{3}}{8}a$

利用弦长公式： $|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2|=\sqrt{1+\frac{1}{3}}\cdot \frac{5\sqrt{3}}{8}a=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{5\sqrt{3}}{8}a=\frac{5}{4}a$

已知 $|AB|=\frac{15}{4}$，得： $\frac{5}{4}a=\frac{15}{4}⟹a=3$

则 $a^2=9$，$b^2=\frac{5}{9}\times 9=5$。

故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆离心率齐次方程求解、向量坐标表示、弦长公式与韦达定理。
2. 核心方法：设直线为 $x=my-c$ 形式避免讨论斜率；利用 $y_1=-2y_2$ 直接消元。
3. 避坑指南：注意左焦点坐标为 $(-c,0)$，计算时莫将符号写错；弦长计算可直接用纵坐标差乘 $\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$ 简化流程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自 2010 年辽宁高考理科第 20 题，考查焦点弦被焦点分割的比例关系与离心率的代数关联。
2. 结论推广：对过焦点 $F$ 的直线交椭圆于 $A,B$，若 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{FB}$，直线倾斜角为 $\alpha$，则离心率满足 $e=\frac{\lambda -1}{\lambda +1}\cdot \frac{1}{\cos \alpha }$。在本题中 $\lambda =2,\alpha =60^{\circ }$，验证得 $e=\frac{2-1}{2+1}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-20 解-椭圆标准方程与向量关系
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量
• 2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比