2010-重庆卷文-08 单-参数方程与圆公共点

本题导读

考查参数方程与位置关系。曲线是圆 $(x-2{)}^2+y^2=1$；$b=x-y=2+\sqrt{2}\cos (\theta +\frac{\pi }{4})\in [2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}]$；$b$ 取端点时相切只有 1 个公共点，故两个公共点需 $2-\sqrt{2}<b<2+\sqrt{2}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 若直线 $y=x-b$ 与曲线 $\{\begin{array}{l}x=2+\cos \theta ,\\ y=\sin \theta \end{array}$（$\theta \in [0,2\pi )$）有两个不同的公共点，则实数 $b$ 的取值范围为()

A. $(2-\sqrt{2},1)$　　B. $[2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}]$　　C. $(-\infty ,2-\sqrt{2})\cup (2+\sqrt{2},+\infty )$　　D. $(2-\sqrt{2},2+\sqrt{2})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 参数方程消参：$(x-2{)}^2+y^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$，是以 $(2,0)$ 为圆心、半径 1 的圆。
2. 直线 $y=x-b$ 代入圆上点坐标：$b=x-y=2+\cos \theta -\sin \theta$。
3. 辅助角合一得 $b$ 的范围；端点对应相切（1 个公共点），两个公共点取开区间。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由参数方程，曲线是圆 $(x-2{)}^2+y^2=1$，圆心 $(2,0)$，半径 $1$. 直线 $y=x-b$ 即 $x-y=b$，与圆有公共点时 $b=x-y=2+\cos \theta -\sin \theta =2+\sqrt{2}\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right),$ 故 $b$ 的取值范围为 $[2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}]$. 当 $b$ 取两个端点时，直线与圆相切，只有一个公共点； 要有两个不同的公共点，必须有 $2-\sqrt{2}<b<2+\sqrt{2}.$ 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程消参与直线与圆公共点

核心方法：曲线是圆 $(x-2{)}^2+y^2=1$；$b=x-y=2+\sqrt{2}\cos (\theta +\frac{\pi }{4})\in [2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}]$；两个公共点取开区间

避坑指南：端点 $b=\pm \sqrt{2}$ 时直线与圆相切（1 个公共点），题目要”两个不同的公共点”必须去端点取开区间；辅助角合一别忘振幅 $\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程题先消参认图形；直线与圆的公共点个数由 $d$ 与 $r$ 比较或参数取值定。

结论推广：$\{\begin{array}{l}x=2+\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$ 消参得 $(x-2{)}^2+y^2=1$；$a\cos \theta +b\sin \theta$ 合一振幅 $\sqrt{a^2+b^2}$。

方法推广：“有公共点”是闭区间、“两个不同公共点”去端点（端点相切）；相离对应区间之外。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2011-湖南卷文-09 填-参数方程交点
• 2012-江苏卷-12 填-直线与圆的公共点
• 2012-新课标卷文-23 解-参数方程与距离和