2011-湖南卷文-09 填-参数方程交点

本题导读

本题考查参数方程与普通方程互化，以及极坐标与直角坐标互化。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 〔选修 4-4：坐标系与参数方程〕

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \alpha ,\\ y=\sqrt{3}\sin \alpha \end{array}$（$\alpha$ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 $xOy$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，曲线 $C_2$ 的方程为 $\rho (\cos \theta -\sin \theta )+1=0$，则 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点个数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$C_1$ 消参得椭圆
2. 步骤2：$C_2$ 化 $x-y+1=0$
3. 步骤3：联立看判别式

✅【答案】

点击查看答案

$2$

✍【详细解析】

Abstract

$C_1$ 消参：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$，是长半轴 $2$、短半轴 $\sqrt{3}$ 的椭圆。

$C_2$：由 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，$\rho (\cos \theta -\sin \theta )+1=0$ 化为 $x-y+1=0$，即 $y=x+1$。

联立 $\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,\\ y=x+1\end{array}$，代入得 $3x^2+4(x+1{)}^2=12$，即 $7x^2+8x-8=0$。

判别式 $\Delta =8^2-4\times 7\times (-8)=64+224=288>0$，故直线与椭圆有两个不同交点，交点个数为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程消参；极坐标方程化直角坐标；直线与椭圆交点个数的判别式

核心方法：双曲线 / 椭圆问题先统一到直角坐标普通方程，再联立判别

避坑指南：消参时用 ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ 需先把 $x$、$y$ 分别除以系数（$\frac{x^2}{4}$、$\frac{y^2}{3}$），直接写 $x^2+y^2=1$ 是常见错误；$\rho \cos \theta =x$、$\rho \sin \theta =y$ 的互化公式别写反；交点个数只看判别式符号，无需解出交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程与极坐标题与 2013-湖南卷文-11、2012-广东卷文-14、2011-新课标卷文-23 同族。

结论推广：推广：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 与直线 $Ax+By+C=0$ 的交点个数由 $\Delta$ 决定，$\Delta >0$ 两个、$\Delta =0$ 相切一个、$\Delta <0$ 无；用判别式比画图更可靠。

方法推广：参数方程交点题：消参成普通方程是第一步，坐标系统一后所有解析几何工具都可使用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-11 填-参数方程平行
• 2012-广东卷文-14 填-参数方程与极坐标
• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标