2010-重庆卷文-14 填-独立事件次品率

本题导读

考查独立事件。全合格概率 $\frac{69}{70}\cdot \frac{68}{69}\cdot \frac{67}{68}=\frac{67}{70}$，次品率 $=1-\frac{67}{70}=\frac{3}{70}$。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 $\frac{1}{70}$、$\frac{1}{69}$、$\frac{1}{68}$，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 各道工序互不影响，全合格概率是各工序合格率的乘积。
2. 次品 $=$ 至少一道工序出次品，用对立事件 $1-P(\text{全合格})$。

✅【答案】

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$\frac{3}{70}$

✍【详细解析】

Abstract

三道工序都合格的概率为 $\left(1-\frac{1}{70}\right)\left(1-\frac{1}{69}\right)\left(1-\frac{1}{68}\right)=\frac{69}{70}\cdot \frac{68}{69}\cdot \frac{67}{68}=\frac{67}{70}.$ 加工出来的零件为次品的对立事件是零件为正品（三道工序全部合格），故次品率为 $1-\frac{67}{70}=\frac{3}{70}.$ 故填 $\frac{3}{70}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件的概率

核心方法：全合格 $\frac{69}{70}\cdot \frac{68}{69}\cdot \frac{67}{68}=\frac{67}{70}$，次品率 $1-\frac{67}{70}=\frac{3}{70}$

避坑指南：“至少一道工序出次品”用对立事件算；连乘时分子的 68、67 与分母约分，结果 $\frac{67}{70}$；最后减 1 别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立重复工序的合格/次品率：乘法公式 + 对立事件。

结论推广：相互独立事件同时发生的概率 $P(AB)=PA.PB.$；$P(\text{至少})=1-P(\text{都不})$。

方法推广：逐道工序写合格率（$1-$ 次品率），连乘得全合格概率，再用 $1-$ 全合格 = 次品率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-湖北卷文-12 填-独立事件概率
• 2011-大纲卷文-19 解-独立事件概率
• 2012-重庆卷文-18 解-相互独立事件概率