2010-重庆卷理-06 单-三角函数

本题导读

本题考查由正弦型函数的部分图象确定其解析式中的参数 $\omega$ 和 $\phi$。核心在于通过图象获取周期特征，并利用特殊点（最高点）判定初相。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 已知函数 $y=\sin (\omega x+\phi )$（$\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}$）的部分图象如图所示，则()

A. $\omega =1,\phi =\frac{\pi }{6}$　　B. $\omega =1,\phi =-\frac{\pi }{6}$　　C. $\omega =2,\phi =\frac{\pi }{6}$　　D. $\omega =2,\phi =-\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

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1. 观察图象，找出最高点与相邻零点的横坐标，利用四分之一周期公式求出 $T$，进而求出 $\omega$。

2. 将最高点坐标代入解析式，结合 $\phi$ 的取值范围求出初相 $\phi$。

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D

✍【详细解析】

Abstract

由图象可知，最高点横坐标为 $\frac{\pi }{3}$，相邻的减区间零点横坐标为 $\frac{7\pi }{12}$， 则该函数的四分之一周期为： $\frac{T}{4}=\frac{7\pi }{12}-\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{12}=\frac{\pi }{4}$， 解得 $T=\pi$。 因为 $\omega >0$，所以 $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\pi }=2$。 当 $x=\frac{\pi }{3}$ 时，函数取得最大值 1， 即 $2\times \frac{\pi }{3}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）， 变形得 $\phi =-\frac{\pi }{6}+2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）， 因为 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$，取 $k=0$ 得 $\phi =-\frac{\pi }{6}$。 综上所述，$\omega =2,\phi =-\frac{\pi }{6}$。 答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：$\omega$ 与周期的关系 $T=\frac{2\pi }{\omega }$；用特殊点法求初相 $\phi$。

2. 核心方法：依据图象的关键点（极值点、零点、对称轴）进行定量计算。

3. 避坑指南：求 $\phi$ 时务必代入确定的最值点，若代入零点需注意图象的升降趋势以防多解或错解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为教材中“函数 $y=\lambda \sin (\omega x+\phi )$ 的图象”一节的经典改编题，属于高考必考的基础题型。

2. 结论推广：对于 $y=A\sin (\omega x+\phi )$，相邻最高点与最低点横坐标之差为 $\frac{T}{2}$，相邻最高点与零点横坐标之差为 $\frac{T}{4}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数