2010-重庆卷理-10 单-双曲线

本题导读

本题考查空间中点轨迹的判定。核心在于将空间中点到异面直线的距离通过投影转化为同一平面内的二维解析几何问题，并结合双曲线的定义确定轨迹。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()

A. 直线　　　　　B. 椭圆　　　　　C. 抛物线　　　　　D. 双曲线

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设两互相垂直的异面直线为 $l_1,l_2$，过 $l_1$ 且平行于 $l_2$ 的平面为 $\alpha$。

2. 将 $l_2$ 投影到平面 $\alpha$ 内得到直线 $l_2^{\prime }$。根据垂直关系可知 $l_1\perp l_2^{\prime }$。

3. 对平面 $\alpha$ 内的任意点 $P$，分别表示出 $P$ 到 $l_1$ 的距离和到 $l_2$ 的距离，利用勾股定理建立方程，识别曲线类型。

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D

✍【详细解析】

Abstract

设已知异面直线为 $l_1,l_2$ 且 $l_1\perp l_2$。 设平面 $\alpha$ 满足 $l_1\subset \alpha$ 且 $l_2\parallel \alpha$。两异面直线间的公垂线段长（即 $l_2$ 到平面 $\alpha$ 的距离）为 $h$（$h>0$）。 将 $l_2$ 正投影到平面 $\alpha$ 上得到直线 $l_2^{\prime }$，易知 $l_1\perp l_2^{\prime }$。 在平面 $\alpha$ 内建立直角坐标系，令 $l_2^{\prime }$ 为 $x$ 轴，$l_1$ 为 $y$ 轴，设点 $P(x,y)\in \alpha$。 则点 $P$ 到 $l_1$ 的距离为 $d_1=|x|$。 点 $P$ 到空间直线 $l_2$ 的距离可以看作 $P$ 到 $l_2^{\prime }$ 的距离与公垂线段长 $h$ 构成的直角三角形斜边，即 $d_2=\sqrt{|y{|}^2+h^2}$。 根据题意 $d_1=d_2$，得： $|x|=\sqrt{y^2+h^2}⟹x^2-y^2=h^2$。 因为 $h>0$，此方程表示一条实轴在 $x$ 轴上的等轴双曲线。 答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间距离向平面距离的转化、双曲线的标准方程。

2. 核心方法：建系坐标法、三垂线定理及空间勾股定理应用。

3. 避坑指南：容易混淆空间距离与平面距离的关系，误认为点到 $l_2$ 的距离就是到其投影线 $l_2^{\prime }$ 的距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自空间几何中经典的旋转曲面切片问题。两相互垂直异面直线等距离点的空间集合为单叶双曲面，该曲面被平行于两直线的平面所截，得到的截线即为双曲线。

2. 结论推广：若两异面直线的夹角为 $\theta$，则在同样平面内的轨迹方程可推广为一般斜坐标系下的双曲线形式，其轨迹性质保持不变。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-03 填-双曲线
• 2011-上海卷理-23 解-双曲线
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线