2010-重庆卷理-13 填-概率

本题导读

本题考查独立重复试验中特殊事件的概率计算。核心考查对“至多命中一次”这一语言表述的数学转化，利用对立事件简化计算。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 $\frac{16}{25}$，则该队员每次罚球的命中率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设每次罚球的命中率为 $p$。

2. 识别“至多命中一次”的对立事件为“两次都命中”。

3. 建立对立事件概率方程 $1-P(\text{两次都命中})=\frac{16}{25}$ 求解 $p$。

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$\frac{3}{5}$（或 $0.6$）

✍【详细解析】

Abstract

设该队员每次罚球的命中率为 $p$（$0\le p\le 1$）。 两次罚球中，“至多命中一次”的对立事件是“两次全部命中”。 因为每次罚球结果相互独立，所以两次都命中的概率为 $p\cdot p=p^2$。 由对立事件公式得： $1-p^2=\frac{16}{25}⟹p^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$。 因为 $p\ge 0$，所以解得 $p=\frac{3}{5}$（或 $0.6$）。 答案：$\frac{3}{5}$（或 $0.6$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件同时发生的概率乘法公式、对立事件概率和为 1。

2. 核心方法：间接转化法。

3. 避坑指南：如果用分类讨论法（即分为 0 次命中和 1 次命中）计算为 $(1-p{)}^2+2p(1-p)=\frac{16}{25}$，过程较为繁琐且容易漏掉排列数 2，推荐使用对立事件法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是以体育比赛为背景的概率基础题，源自伯努利试验（二项分布）的低次数简化模型。

2. 结论推广：在 $n$ 次独立重复试验中，单次成功率为 $p$，则“至多成功 $n-1$ 次”的概率为 $1-p^n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率
• 2011-大纲卷文-19 解-独立事件概率