2010-重庆卷理-16 解-解三角形

本题导读

本题是一道典型的三角函数与解三角形综合题。第一问考查通过二倍角公式和两角和公式将解析式化简为单一名弦函数并求值域；第二问在此基础上结合三角形内角范围求出角 $B$，再利用余弦定理列出方程求解边长。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 设函数 $f(x)=\cos \left(x+\frac{2}{3}\pi \right)+2{\cos }^2\frac{x}{2}$，$x\in \mathbb{R}$.

(1)求 $f(x)$ 的值域；

(2)记 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边长分别为 $a,b,c$，若 $fB.=1$，$b=1$，$c=\sqrt{3}$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用降幂公式 $2{\cos }^2\frac{x}{2}=1+\cos x$ 先化简，再展开两角和的余弦公式，利用辅助角公式逆向合并为 $A\cos (\omega x+\phi )+k$ 的形式，直接得出值域。

2. 第二问：将 $fB.=1$ 代入简化后的函数式，结合内角范围确定 $B$ 的大小。已知 $B,b,c$，利用余弦定理列出关于 $a$ 的一元二次方程，解出 $a$ 并验证。

✅【答案】

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（1）由2cos2𝑥2=1+cos𝑥，得𝑓(𝑥)=1+cos𝑥+cos(𝑥+2π3)=1+12cos𝑥−

✍【详细解析】

Abstract

（1）化简函数解析式： $f(x)=\cos x\cos \frac{2}{3}\pi -\sin x\sin \frac{2}{3}\pi +(1+\cos x)$ $f(x)=-\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+1+\cos x$ $f(x)=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+1$ $f(x)=\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+1$。 因为 $x\in \mathbb{R}$，所以 $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\in [-1,1]$， 从而 $f(x)\in [0,2]$。 故 $f(x)$ 的值域为 $[0,2]$。

（2）由 $fB.=1$ 得： $\cos \left(B+\frac{\pi }{3}\right)+1=1⟹\cos \left(B+\frac{\pi }{3}\right)=0$。 因为 $B$ 为 $△ABC$ 的内角，所以 $0<B<\pi$， 则 $\frac{\pi }{3}<B+\frac{\pi }{3}<\frac{4}{3}\pi$。 在此范围内，由 $\cos \left(B+\frac{\pi }{3}\right)=0$ 得： $B+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}⟹B=\frac{\pi }{6}$。 在 $△ABC$ 中，由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 得： $1^2=a^2+(\sqrt{3}{)}^2-2a\cdot \sqrt{3}\cdot \cos \frac{\pi }{6}$ $1=a^2+3-2a\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $1=a^2+3-3a⟹a^2-3a+2=0$。 解得 $a=1$ 或 $a=2$。 经检验，当 $a=1$ 或 $a=2$ 时，均能与 $b=1,c=\sqrt{3}$ 构成有效的三角形。 所以 $a$ 的值为 1 或 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数形如 $y=A\cos (\omega x+\phi )+k$ 的性质转化、余弦定理边角互化。
2. 核心方法：公式变形（降幂、合一）、方程法解三角形未知边。
3. 避坑指南：

• 第一问化简时，极易将 $-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x$ 合并时的初相符号弄错。

• 第二问由 $\cos \left(B+\frac{\pi }{3}\right)=0$ 确定 $B$ 时，必须书写 $B+\frac{\pi }{3}$ 的取值范围，保证步骤严谨。

• 解出一元二次方程的两个正根后，习惯性容易漏掉其中一解，需注意此题为双解情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题基于教材中“三角恒等变换”与“解三角形”两章的核心主干知识进行交汇设计，属于高考解答题第一题的经典大题模式。

2. 结论推广：解三角形中若已知两边及其中一边的对角（如已知 $b,c,B$），求解第三边 $a$ 时，若满足 $b<c$ 且 $c\sin B<b$，则方程必然有两个正实根，即三角形有两解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数