2010-重庆卷理-17 解-古典概型

本题导读

本题考查概率论与数理统计的基础知识。第一问通过古典概型考查“至少有一个”这一事件的概率，利用对立事件简化计数；第二问考查离散型随机变量分布列的列举与数学期望的计算，核心在于准确界定变量的取值范围并精确计数。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1, 2, $\cdots$, 6），求：

(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；

(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数 $\xi$ 的分布列与期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：“至少有一个为奇数”的对立事件是“两个都为偶数”。在 1 至 6 中，偶数序号有 3 个，可先求出两单位均抽到偶数的概率，再用 1 减去该概率。

2. 第二问：确定 $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4。利用古典概型分别计算 $\xi$ 取各个值时的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 计算出期望值。

✅【答案】

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（1）甲、乙两单位的演出序号是从1,2,…,6中随机取出的两个不同序号.两序号都为偶数的概率为C23

✍【详细解析】

Abstract

（1）设“甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”为事件 $A$。 从 6 个序号中随机确定甲、乙两单位的演出序号，基本事件总数为 $A_6^2=30$ 种。 事件 $A$ 的对立事件 $\bar{A}$ 为“甲、乙两单位的演出序号均为偶数”。 在序号 1 至 6 中，偶数序号有 2, 4, 6 共 3 个，则甲、乙均抽到偶数序号的种数为 $A_3^2=6$ 种。 所以 $P(\bar{A})=\frac{A_3^2}{A_6^2}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$。 由对立事件概率公式得：$PA.=1-P(\bar{A})=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$。 答：甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率为 $\frac{4}{5}$。

（2）由题意可知，甲、乙两单位之间的演出单位个数 $\xi$ 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, 4。

• 当 $\xi =0$ 时，表示甲、乙两单位相邻，其位置组合有 (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) 共有 5 种，考虑甲乙顺序则有 $5\times 2=10$ 种， $P(\xi =0)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$；
• 当 $\xi =1$ 时，位置组合有 (1,3), (2,4), (3,5), (4,6) 共有 4 种，考虑甲乙顺序则有 $4\times 2=8$ 种， $P(\xi =1)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}$；
• 当 $\xi =2$ 时，位置组合有 (1,4), (2,5), (3,6) 共有 3 种，考虑甲乙顺序则有 $3\times 2=6$ 种， $P(\xi =2)=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$；
• 当 $\xi =3$ 时，位置组合有 (1,5), (2,6) 共有 2 种，考虑甲乙顺序则有 $2\times 2=4$ 种， $P(\xi =3)=\frac{4}{30}=\frac{2}{15}$；
• 当 $\xi =4$ 时，位置组合仅有 (1,6) 共有 1 种，考虑甲乙顺序则有 $1\times 2=2$ 种， $P(\xi =4)=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$。

所以 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

其数学期望为： $E(\xi )=0\times \frac{10}{30}+1\times \frac{8}{30}+2\times \frac{6}{30}+3\times \frac{4}{30}+4\times \frac{2}{30}=\frac{0+8+12+12+8}{30}=\frac{40}{30}=\frac{4}{3}$。 答：$\xi$ 的数学期望为 $\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的总数与目标数统计、对立事件转化思想、期望公式的规范应用。
2. 核心方法：分类讨论与有向排列（考虑甲、乙的相对顺序）计数法。
3. 避坑指南：

• 第一问直接分类计算（一奇一偶、两奇）易漏项，推荐优先考虑对立事件。

• 第二问计算 $\xi$ 的每种情况时，分子与分母必须保持相同的“有序性”。若分母采用 $A_6^2$（有序），则分子也必须乘以 2 考虑甲乙的交换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中排列组合和概率大题的基本模型（排队隔离模型），是考查概率大题最常规的形式。

2. 结论推广：若有 $n$ 个元素进行全排列，其中指定两个元素之间的其他元素个数为 $\xi$，则 $\xi$ 的可能取值为 $0,1,\cdots ,n-2$。对于任意满足条件的 $k$，其概率公式可表示为 $P(\xi =k)=\frac{2(n-1-k)}{n(n-1)}$。其期望恒满足 $E(\xi )=\frac{n-2}{3}$。本题 $n=6$，代入可得 $E(\xi )=\frac{6-2}{3}=\frac{4}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合
• 2012-浙江卷文-12 填-古典概型概率