2010-陕西卷文-09 单-抛物线准线切圆

本题导读

考查抛物线准线与圆相切。圆心 $(3,0)$ 到准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离等于半径 $4$，即 $3+\frac{p}{2}=4$，得 $p=2$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 已知抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的准线与圆 $(x-3{)}^2+y^2=16$ 相切，则 $p$ 的值为()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. 抛物线 $y^2=2px$ 的准线为 $x=-\frac{p}{2}$。
2. 圆 $(x-3{)}^2+y^2=16$ 的圆心 $(3,0)$、半径 $4$。
3. 准线与圆相切 $⟺$ 圆心到准线的距离等于半径。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=2px$ 的准线为 $x=-\frac{p}{2}$，圆 $(x-3{)}^2+y^2=16$ 的圆心为 $(3,0)$，半径为 $4$. 准线与圆相切，故圆心到准线的距离等于半径： $3-\left(-\frac{p}{2}\right)=4,即3+\frac{p}{2}=4,$ 解得 $p=2$. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线准线与直线和圆相切

核心方法：圆心 $(3,0)$ 到准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离 $3+\frac{p}{2}=4$，$p=2$

避坑指南：开口向右的抛物线 $y^2=2px$ 准线在 $y$ 轴左侧；圆心到准线的距离是 $3-(-\frac{p}{2})=3+\frac{p}{2}$，别丢负号；相切即距离等于半径 $4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“圆锥曲线+圆”的位置关系小题全国常见，2009 四川文第 13 题同考焦准距、2011 陕西文第 2 题同考准线。

结论推广：$y^2=2px$：焦点 $\left(\frac{p}{2},0\right)$、准线 $x=-\frac{p}{2}$；直线与圆相切 $⟺d=r$。

方法推广：抛物线基本量题先写出焦点与准线坐标，再用圆心到直线的距离公式；符号（准线在负半轴）要落实在纸面上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-13 填-抛物线焦准距
• 2011-陕西卷文-02 单-抛物线准线求方程
• 2009-湖南卷文-02 单-抛物线焦点
• 2012-四川卷文-09 单-抛物线焦半径