2010-陕西卷文-12 填-向量共线求参

本题导读

考查向量共线的坐标条件。$\vec{a}+\vec{b}=(1,m-1)$ 与 $\vec{c}=(-1,2)$ 共线，坐标交叉乘积为零，解得 $m=-1$。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 已知向量 $\vec{a}=(2,-1)$，$\vec{b}=(-1,m)$，$\vec{c}=(-1,2)$，若 $(\vec{a}+\vec{b})\parallel \vec{c}$，则 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先求和向量：$\vec{a}+\vec{b}=(1,m-1)$。
2. 共线的坐标条件：$x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。
3. 代入解出 $m$。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

$\vec{a}+\vec{b}=(2-1,-1+m)=(1,m-1)$. 由 $(\vec{a}+\vec{b})\parallel \vec{c}$ 得 $1\times 2-(m-1)\times (-1)=0,即2+m-1=0,$ 解得 $m=-1$. 检验：$m=-1$ 时 $\vec{a}+\vec{b}=(1,-2)=-\vec{c}$，确实共线.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量共线的坐标条件

核心方法：$(1,m-1)$ 与 $(-1,2)$ 共线：$1\times 2-(m-1)(-1)=0$，$m=-1$

避坑指南：共线坐标条件是 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$，交叉相乘后相减；先求和向量再列条件，别把 $\vec{c}$ 的坐标抄错；解出后可代回验证 $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量坐标运算（共线/垂直）是平面向量小题的基本功，2009 江西文第 13 题为垂直版本。

结论推广：$\vec{a}\parallel \vec{b}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$；$\vec{a}\perp \vec{b}⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。

方法推广：共线与垂直的坐标条件只差一个符号，默写时先写公式再代数；求参后把参数代回原式复核一次成本极低。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-13 填-向量垂直坐标运算
• 2009-新课标卷文-07 单-向量垂直定参
• 2009-山东卷文-08 单-向量中点
• 2012-江西卷文-12 填-单位向量垂直求值