2010-陕西卷文-16 解-等差等比数列

本题导读

考查等差数列基本量与等比求和。由 $a_1,a_3,a_9$ 成等比解得 $d=1$，$a_n=n$；$\{2^{a_n}\}$ 即 $\{2^n\}$，前 $n$ 项和 $S_n=2^{n+1}-2$。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是公差不为零的等差数列，$a_1=1$ 且 $a_1$，$a_3$，$a_9$ 成等比数列.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项；

(2)求数列 $\{2^{a_n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

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1. 用公差 $d$ 表示 $a_3=1+2d$，$a_9=1+8d$。
2. 等比中项条件：$a_3^2=a_1{a}_9$，解出 $d$（注意舍去 $d=0$）。
3. （2）中 $2^{a_n}=2^n$，直接用等比数列求和公式（首项 $2$、公比 $2$）。

✅【答案】

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(1) $a_n=n$

(2) $S_n=2^{n+1}-2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设公差为 $d$（$d\ne 0$），则 $a_3=1+2d$，$a_9=1+8d$. 由 $a_1$，$a_3$，$a_9$ 成等比数列，得 $(1+2d{)}^2=1\cdot (1+8d),$ 整理得 $1+4d+4d^2=1+8d$，即 $4d(d-1)=0$. 因 $d\ne 0$，故 $d=1$，所以 $a_n=a_1+(n-1)d=n.$（2）由（1）知 $2^{a_n}=2^n$，即 $\{2^{a_n}\}$ 是首项为 $2$、公比为 $2$ 的等比数列，故 $S_n=\frac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量与等比求和

核心方法：$(1+2d{)}^2=1+8d$ 得 $d=1$，$a_n=n$；$S_n=2^{n+1}-2$

避坑指南：等比中项写成 $a_3^2=a_1{a}_9$ 后展开，$d=0$ 的解必须舍去（题设公差不为零）；$\{2^{a_n}\}$ 的首项是 $2^1=2$ 而非 $1$，求和公式 $\frac{2(2^n-1)}{2-1}$ 的分子分母别写反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“等差条件+等比中项”定通项、再对指数型数列求和是解答题前两题的常客，2009 大纲Ⅱ文第 17 题同型。

结论推广：$a_n=a_1+(n-1)d$；$\{q^n\}$ 前 $n$ 项和 $\frac{q(q^n-1)}{q-1}$（$q\ne 1$）。

方法推广：设出公差后把所有已知翻译成 $d$ 的方程；求和前先确认”首项是谁、公比是谁”，指数 $a_n=n$ 意味着 $2^{a_n}=2^n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-05 单-等差数列基本量
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2009-陕西卷文-13 填-等差数列通项