2009-安徽卷文-05 单-等差数列基本量

本题导读

考查等差数列。 $a_{1} + 2 d = 35$ ， $a_{1} + 3 d = 33$ ，解得 $d = - 2$ ， $a_{1} = 39$ ， $a_{20} = 1$ ，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)）已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 105$ ， $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 99$ ，则 $a_{20}$ 等于 ()

A. $- 1$ 　　　　　　　B. $1$ 　　　　　　　C. $3$ 　　　　　　　D. $7$

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$a_{1} + a_{3} + a_{5} = 3 (a_{1} + 2 d) = 105$ ，得 $a_{1} + 2 d = 35$ 。

$a_{2} + a_{4} + a_{6} = 3 (a_{1} + 3 d) = 99$ ，得 $a_{1} + 3 d = 33$ 。

相减得 $d = - 2$ ， $a_{1} = 39$ ， $a_{20} = 39 + 19 \times (- 2) = 1$ 。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ 。由题意， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 3 (a_{1} + 2 d) = 105$ ，所以 $a_{1} + 2 d = 35$ ；又 $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 3 (a_{1} + 3 d) = 99$ ，所以 $a_{1} + 3 d = 33$ 。两式相减得 $d = - 2$ ，代回得 $a_{1} = 39$ 。因而 $a_{20} = a_{1} + 19 d = 39 - 38 = 1$ 。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的基本量

核心方法：三项和化为中项式

避坑指南： $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 3 a_{3} = 105$ 、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 3 a_{4} = 99$ ， $a_{4} - a_{3} = d = - 2$ ，比解方程组更快。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等距三项和等于中项的三倍是等差数列核心性质。

结论推广： $a_{n} = a_{m} + (n - m) d$ 。

方法推广： $a_{20} = a_{1} + 19 d$ ，下标减一是公差个数，别乘 $20$ 。

🔗【关联脉络】

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