2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高

本题导读

本题考查余弦函数的值与内角和，以及正弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$a$，$b$，$c$ 分别为内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边长，$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$，$1+2\cos (B+C)=0$，求边 $BC$ 上的高.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由 $1+2\cos (B+C)=0$ 定 $A$
2. 步骤2：正弦定理求 $B$
3. 步骤3：再求 $c$
4. 步骤4：最后 $h=c\sin B$

✅【答案】

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边 $BC$ 上的高为 $h=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $1+2\cos (B+C)=0$ 得 $\cos (B+C)=-\frac{1}{2}$。

又 $B+C\in (0,\pi )$，故 $B+C=\frac{2\pi }{3}$，从而 $A=\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$。

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$：$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

因 $0<B<B+C=\frac{2\pi }{3}$，故 $B=\frac{\pi }{4}$（$\frac{3\pi }{4}$ 超出范围舍去），进而 $C=\frac{5\pi }{12}$。

再次用正弦定理：$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}\sin \frac{5\pi }{12}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sin \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$。

设 $A$ 到 $BC$ 的高为 $h$，在以 $c$ 为斜边、$B$ 为锐角的直角三角形中 $h=c\sin B$：

$h=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{12}+2}{4}=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。

故边 $BC$ 上的高为 $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：内角和 $A+B+C=\pi$；特殊角 $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$；正弦定理；$\sin \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

核心方法：条件给的是 $B+C$（不是 $B$ 或 $C$），先整体求 $A$，再用正弦定理逐个求角与边，最后把高放进直角三角形

避坑指南：$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 有两解 $\frac{\pi }{4}$ 与 $\frac{3\pi }{4}$，但 $B<\frac{2\pi }{3}$ 时 $\frac{3\pi }{4}$ 并不与已知矛盾——真正的排除依据是：若 $B=\frac{3\pi }{4}$，则 $B>B+C=\frac{2\pi }{3}$ 与 $C>0$ 矛盾，务必写明；$\sin \frac{5\pi }{12}$ 用和角公式展开，数值别记错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理解三角形题与 2011-大纲卷文-18、2011-天津卷文-16、2011-上海卷文-08 同族。

结论推广：推广：条件给 $B+C$ 的三角函数值时，$A$ 直接可得（$A=\pi -(B+C)$）；求三角形的高 $h$，除 $h=c\sin B$ 外还可用面积法 $h=\frac{2S}{a}$，$S=\frac{1}{2}ab\sin C$，两法可互相验算。

方法推广：解三角形标准流程：角条件 $\to$ 定角 $\to$ 正弦 $/$ 余弦定理求边 $\to$ 目标量（高 $/$ 面积 $/$ 中线）选合适载体。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2011-天津卷文-16 解-正余弦定理与二倍角
• 2011-上海卷文-08 填-正弦定理求距离