2010-陕西卷理-05 单-函数

本题导读

本题考查分段函数的求值与分段复合方程的求解，按自变量范围分层代入。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^x+1,& x<1\\ x^2+ax,& x\ge 1\end{array}$，若 $f(f(0))=4a$，则实数 $a$ 等于()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{4}{5}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

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1. 因为 $0<1$，先代入上段解析式计算 $f(0)$。
2. 判断 $f(0)$ 与 $1$ 的大小关系，代入对应的解析式计算 $f(f(0))$。
3. 解关于 $a$ 的方程 $f(f(0))=4a$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $f(0)$ 因为 $0<1$，代入 $x<1$ 的解析式： $f(0)=2^0+1=1+1=2$

第二步：求 $f(f(0))=f(2)$ 因为 $2\ge 1$，代入 $x\ge 1$ 的解析式： $f(2)=2^2+a\times 2=4+2a$

第三步：求解方程 根据 $f(f(0))=4a$： $4+2a=4a⟹2a=4⟹a=2$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的代入规则与复合求值。
2. 核心方法：遵循“由内到外、分段对应”原则。
3. 避坑指南：求得内层值 $f(0)=2$ 后，注意 $2\ge 1$，必须代入下段解析式，切勿混淆区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：分段函数求值经典基础题。
2. 结论推广：对于分段复合函数 $f(f(x_0))=A$，通常先求 $t=f(x_0)$，再由 $f(t)=A$ 倒推。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性