2010-陕西卷理-10 单-函数

本题导读

本题考查取整函数 $y=[x]$（不大于 $x$ 的最大整数）的模型建立，通过特殊值验证法可快速锁定正确选项。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 某学校要召开学生代表大会，规定各班每 $10$ 人推选一名代表，当各班人数除以 $10$ 的余数大于 $6$ 时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 $y$ 与该班人数 $x$ 之间的函数关系用取整函数 $y=[x]$（$[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数）可以表示为()

A. $y=\left[\frac{x}{10}\right]$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $y=\left[\frac{x+3}{10}\right]$

C. $y=\left[\frac{x+4}{10}\right]$　　　　　　　　　　　　　　D. $y=\left[\frac{x+5}{10}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设班级人数 $x=10k+r$，其中 $k\in \mathbb{N}$，余数 $r\in \{0,1,2,\dots ,9\}$。
2. 根据规则分析代表人数 $y$：

• 当 $r\le 6$ 时，代表人数为 $k$；
• 当 $r\ge 7$ 时，代表人数为 $k+1$。

3. 采用特值代入法分析各个选项：

• 取 $x=16$（余数 $6\le 6$）：代表人数应为 $1$；
• 取 $x=17$（余数 $7>6$）：代表人数应增选 $1$ 名，为 $2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方法：特值检验法

• 测试点 1：取班级人数 $x=16$。 余数为 $6\le 6$，不需要增选，故推选代表人数应为 $y=1$。

• A项：$y=\left[\frac{16}{10}\right]=[1.6]=1$

• B项：$y=\left[\frac{16+3}{10}\right]=[1.9]=1$

• C项：$y=\left[\frac{16+4}{10}\right]=[2.0]=2\ne 1$（排除 C）

• D项：$y=\left[\frac{16+5}{10}\right]=[2.1]=2\ne 1$（排除 D）

• 测试点 2：取班级人数 $x=17$。 余数为 $7>6$，需要增选 $1$ 名，故推选代表人数应为 $y=2$。

• A项：$y=\left[\frac{17}{10}\right]=[1.7]=1\ne 2$（排除 A）

• B项：$y=\left[\frac{17+3}{10}\right]=[2.0]=2$（符合条件）

验证取值范围： 设 $x=10k+r$（$r\in \{0,1,\dots ,9\}$），对于 B 项 $y=\left[\frac{10k+r+3}{10}\right]=\left[k+\frac{r+3}{10}\right]=k+\left[\frac{r+3}{10}\right]$。

• 当 $r\le 6$ 时，$r+3\le 9$，$\left[\frac{r+3}{10}\right]=0$，则 $y=k$；
• 当 $r\ge 7$ 时，$r+3\ge 10$，$\left[\frac{r+3}{10}\right]=1$，则 $y=k+1$。 完美符合规则。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：取整函数 $y=[x]$ 的运算规则（如 $[1.9]=1,[2.0]=2$）。
2. 核心方法：特值带入检验法（选取临界界限 $x=16$ 与 $x=17$）。
3. 避坑指南：注意“大于 6”意味着余数至少为 $7$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：取整函数与实际四舍五入/四舍六入进位逻辑的应用题。
2. 结论推广：若余数大于 $m(m<9)$ 时进位，其取整函数表示为 $y=\left[\frac{x+(9-m)}{10}\right]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性