2010-陕西卷理-21 解-几何证明

本题导读

本题为理科函数导数压轴大题，考查曲线公切线求解、含参函数最值解析式的构建，以及基于导函数凹凸性（Jensen 不等式）的不等式链证明。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 21. 已知函数 $f(x)=\sqrt{x}$，$g(x)=a\ln x$，$a\in \mathbb{R}$.

(1) 若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 相交，且在交点处有共同的切线，求 $a$ 的值和该切线方程；

(2) 设函数 $h(x)=f(x)-g(x)$，当 $h(x)$ 存在最小值时，求其最小值 $\phi (a)$ 的解析式；

(3) 对 (2) 中的 $\phi (a)$ 和任意的 $a>0,b>0$，证明：${\phi }^{\prime }\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{{\phi }^{\prime }(a)+{\phi }^{\prime }(b)}{2}\le {\phi }^{\prime }\left(\frac{2ab}{a+b}\right)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：设共同切点为 $(x_0,y_0)$，列出“切点在两曲线上”与“切点处导数值相等”的方程组求解 $x_0$ 和 $a$。
2. 第 (2) 问：$h(x)=\sqrt{x}-a\ln x(x>0)$，求导得 $h^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x}-2a}{2x}$。当 $a\le 0$ 时，$h^{\prime }(x)>0$ 无极值与最小值；当 $a>0$ 时，$x=4a^2$ 为极小值点兼最小值点，代入可得 $\phi (a)$。
3. 第 (3) 问：求出 ${\phi }^{\prime }(a)$，利用二阶导数 ${\phi }^{\prime \prime \prime }(a)$ 判断 ${\phi }^{\prime }(a)$ 的凹凸性（下凸函数）。结合 Jensen 不等式证明 ${\phi }^{\prime }\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{{\phi }^{\prime }(a)+{\phi }^{\prime }(b)}{2}$，并利用调和均值 $\frac{2ab}{a+b}$ 与算术均值的大小关系完成右侧不等式证明。

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原不等式链成立：${\phi }^{\prime }\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{{\phi }^{\prime }(a)+{\phi }^{\prime }(b)}{2}\le {\phi }^{\prime }\left(\frac{2ab}{a+b}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $a$ 的值和切线方程

设曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的公共切点坐标为 $(x_0,y_0)$，其中 $x_0>0$。

求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},g^{\prime }(x)=\frac{a}{x}$

根据题意，切点处函数值与导数值分别相等： $\{\begin{array}{l}\sqrt{x_0}=a\ln x_0\text{(1)}\\ \frac{1}{2\sqrt{x_0}}=\frac{a}{x_0}\text{(2)}\end{array}$

由 ② 式得： $\frac{\sqrt{x_0}}{2x_0}=\frac{a}{x_0}⟹\sqrt{x_0}=2a\text{(3)}$

将 ③ 代入 ①： $2a=a\ln x_0$

因为 $x_0>0$，所以 $f(x_0)=\sqrt{x_0}>0⟹a\ne 0$。同除以 $a$ 得： $\ln x_0=2⟹x_0=e^2$

代入 ③ 求得： $2a=\sqrt{e^2}=e⟹a=\frac{e}{2}$

切点坐标为 $(e^2,e)$，切线斜率为： $k=f^{\prime }(e^2)=\frac{1}{2\sqrt{e^2}}=\frac{1}{2e}$

切线方程为： $y-e=\frac{1}{2e}(x-e^2)⟹y=\frac{1}{2e}x+\frac{e}{2}$

故 $a=\frac{e}{2}$，切线方程为 $y=\frac{1}{2e}x+\frac{e}{2}$（或 $x-2ey+e^2=0$）。

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(2) 求最小值 $\phi (a)$ 的解析式

$h(x)=\sqrt{x}-a\ln x$，定义域为 $(0,+\infty )$。 求导： $h^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{a}{x}=\frac{\sqrt{x}-2a}{2x}$

1. 当 $a\le 0$ 时： 因为 $x>0$，所以 $\sqrt{x}>0>2a⟹h^{\prime }(x)>0$ 在 $(0,+\infty )$ 上恒成立。 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，无最小值。

2. 当 $a>0$ 时： 令 $h^{\prime }(x)=0⟹\sqrt{x}=2a⟹x=4a^2$。

• 当 $x\in (0,4a^2)$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (4a^2,+\infty )$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增。

故 $x=4a^2$ 是 $h(x)$ 的唯一极小值点，也是最小值点。 此时最小值 $\phi (a)$ 为： $\phi (a)=h(4a^2)=\sqrt{4a^2}-a\ln (4a^2)=2a-a\ln (4a^2)=2a-2a\ln (2a)$

故 $\phi (a)$ 的解析式为 $\phi (a)=2a-2a\ln (2a)(a>0)$。

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(3) 证明不等式链

由 (2) 知，当 $a>0$ 时，$\phi (a)=2a-2a\ln (2a)$。

对其求导得： ${\phi }^{\prime }(a)=2-2\left(\ln (2a)+a\cdot \frac{2}{2a}\right)=2-2\ln (2a)-2=-2\ln (2a)$

记 $F(x)={\phi }^{\prime }(x)=-2\ln (2x)(x>0)$。 我们需要证明，对任意 $a>0,b>0$： $F\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{F(a)+F(b)}{2}\le F\left(\frac{2ab}{a+b}\right)$

第一步：证明左侧不等式 $F\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{F(a)+F(b)}{2}$

求 $F(x)$ 的一阶与二阶导数： $F^{\prime }(x)=-\frac{2}{x},F^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^2}>0(\forall x>0)$

因为 $F^{\prime \prime }(x)>0$ 在 $(0,+\infty )$ 上恒成立，所以函数 $F(x)$ 是 $(0,+\infty )$ 上的下凸函数（凹函数）。 由 Jensen 不等式（琴生不等式），对任意 $a>0,b>0$ 恒有： $F\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{F(a)+F(b)}{2}$ 即左侧不等式成立。

（注：亦可使用构造函数法证明：不妨设 $a\le b$，令 $t=\frac{b}{a}\ge 1$，原式等价于 $-2\ln (a+b)\le -\ln (2a)-\ln (2b)⟺\ln {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\ge \ln (ab)⟺\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$，由基本不等式显然成立。）

第二步：证明右侧不等式 $\frac{F(a)+F(b)}{2}\le F\left(\frac{2ab}{a+b}\right)$

将 $F(x)=-2\ln (2x)$ 代入右侧不等式，即需证： $\frac{-2\ln (2a)-2\ln (2b)}{2}\le -2\ln \left(\frac{4ab}{a+b}\right)$ $-\ln (4ab)\le -2\ln \left(\frac{4ab}{a+b}\right)$ $\ln (4ab)\ge 2\ln \left(\frac{4ab}{a+b}\right)=\ln {\left(\frac{4ab}{a+b}\right)}^2$

根据对数函数的单调性，等价于证明： $4ab\ge {\left(\frac{4ab}{a+b}\right)}^2$

因为 $a>0,b>0$，两边同除以 $4ab$ 得： $1\ge \frac{4ab}{(a+b{)}^2}⟺(a+b{)}^2\ge 4ab$ $(a-b{)}^2\ge 0$

此式对任意 $a>0,b>0$ 恒成立（当且仅当 $a=b$ 时取等号）。

因此，右侧不等式亦成立。

综上所述，原不等式链成立： ${\phi }^{\prime }\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{{\phi }^{\prime }(a)+{\phi }^{\prime }(b)}{2}\le {\phi }^{\prime }\left(\frac{2ab}{a+b}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共切线切点方程、导数求最值与凹凸性（Jensen 不等式/算术均值与几何均值不等式）。
2. 核心方法：

• 共切线问题利用“点在曲线上”与“导数值相等”建立方程组；
• 证明 ${\phi }^{\prime }\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{{\phi }^{\prime }(a)+{\phi }^{\prime }(b)}{2}$ 可直接转化为证明 $(\frac{a+b}{2}{)}^2\ge ab$；
• 证明右侧等价于证明调和均值与算术-几何均值不等式关系。

3. 避坑指南：第 (2) 问需说明当 $a\le 0$ 时 $h(x)$ 无最小值；第 (3) 问中注意对数符号取负号时的单调性反向颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自高等数学中函数的凹凸性与经典均值不等式（算术均值 $A\ge$ 几何均值 $G\ge$ 调和均值 $H$）。
2. 结论推广：若 $F(x)=-\ln x$，因 $F^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x^2}>0$，对调和平均 $H=\frac{2ab}{a+b}$、几何平均 $G=\sqrt{ab}$、算术平均 $A=\frac{a+b}{2}$，恒有 $FA.\le F(G)\le F(H)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-大纲卷理-22 解-导数不等式
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式