2011-上海卷理-11 填-向量新定义

本题导读

本题考查平面向量的数量积定义，以及向量的线性表示与基底法。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 在正三角形 $ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 上的点. 若 $AB=3$，$BD=1$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 基底法：将 $\overrightarrow{AD}$ 沿正三角形两邻边基底 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$（或 $\overrightarrow{AC}$）分解：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$。
2. 因为 $D$ 在 $BC$ 上且 $BC=3,BD=1$，所以 $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$。
3. 展开数量积 $\overrightarrow{AB}\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right)=|\overrightarrow{AB}{|}^2+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$。

✅【答案】

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$\frac{15}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一（基底分解法）： 在正三角形 $ABC$ 中，$AB=BC=3$，$\angle B=60^{\circ }$。 因为点 $D$ 在边 $BC$ 上，且 $BD=1$，所以： $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ 因此： $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ 所以： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right)=|\overrightarrow{AB}{|}^2+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ 因为向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角为 $△ABC$ 的外角 $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$， 所以： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cos 120^{\circ }=3\times 3\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{9}{2}$ 代入得： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=3^2+\frac{1}{3}\left(-\frac{9}{2}\right)=9-\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$

方法二（几何投影法）： 过点 $D$ 作 $DH\perp AB$ 于点 $H$。 在 $\text{Rt}△BHD$ 中，$\angle B=60^{\circ }$，$BD=1$， 所以： $BH=BD\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ 由点 $D$ 在边 $BC$ 上，可知垂足 $H$ 在线段 $AB$ 上， 因此向量 $\overrightarrow{AD}$ 在向量 $\overrightarrow{AB}$ 上的投影长度为： $|\overrightarrow{AH}|=AB-BH=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ 根据向量数量积的几何意义： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AH}|=3\times \frac{5}{2}=\frac{15}{2}$ 故答案为：$\frac{15}{2}$（或 $7.5$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量数量积的几何意义与代数计算。
• 核心方法：几何投影法秒杀（投影长为 $3-1\times \cos 60^{\circ }=2.5$，数量积即为 $3\times 2.5=7.5$）。
• 避坑指南：向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 是首尾相接，两向量夹角是三角形外角 $120^{\circ }$ 而不是内角 $60^{\circ }$，容易弄错符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版必修四平面向量数量积几何意义的标准习题。
• 结论推广：在边长为 $a$ 的正三角形 $ABC$ 中，若 $D$ 在 $BC$ 上且 $BD=\lambda a$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=a^2\left(1-\frac{\lambda }{2}\right)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2014-天津卷文-13 填-向量数量积
• 2014-天津卷理-08 单-向量线性运算