2011-北京卷文-08 单-面积与交点个数

本题导读

本题考查三角形的面积（点到直线的距离），以及方程解的个数。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 已知点 $A(0,2)$，$B(2,0)$．若点 $C$ 在函数 $y=x^2$ 的图象上，则使得 $△ABC$ 的面积为 $2$ 的点 $C$ 的个数为 ()

A. $4$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$|AB|=2\sqrt{2}$
2. 步骤2：面积 $2$ 得 $C$ 到直线 $AB$ 距离 $\sqrt{2}$
3. 步骤3：化为 $|x^2+x-2|=2$ 数根

✅【答案】

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A共有 $4$ 个点

✍【详细解析】

Abstract

直线 $AB:x+y-2=0$，$|AB|=2\sqrt{2}$。

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot d=2\Rightarrow d=\sqrt{2}$，其中 $d$ 为 $C(x,x^2)$ 到 $AB$ 的距离。

$\frac{|x+x^2-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow |x^2+x-2|=2$。

① $x^2+x-2=2$：$x^2+x-4=0$，$\Delta =17>0$，两个不等实根；

② $x^2+x-2=-2$：$x^2+x=0$，$x=0$ 或 $x=-1$，两个实根。

共 $4$ 个点 $C$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线的距离公式；弦长与面积的关系；二次方程根的个数

核心方法：面积定距离：$d=\frac{2S}{|AB|}$；再沿曲线逐点检验，用绝对值方程拆两支

避坑指南：抛物线上点到 $AB$ 的距离随 $x$ 变化，绝对值方程必须拆"$=+2$"与"$=-2$"两支分别数根；只算一支会得 $2$ 误选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“曲线满足面积条件的点个数”是函数与方程思想的典型题，与 2012-天津卷文-14（分段函数图象交点）同族。

结论推广：推广：一般地，$△ABC$ 面积为定值时 $C$ 的轨迹是与 $AB$ 平行的两条直线，点的个数 = 抛物线与这两条平行线的交点数（联立判别式即可判断）。

方法推广：点个数小题：几何条件（距离）代数化，得到含绝对值的方程，分两支数根；注意检验两支的根是否都在定义域内。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-14 填-分段函数图象交点