2011-四川卷文-14 填-双曲线焦半径准线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及焦半径与准线。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$ 上一点 $P$ 到双曲线右焦点的距离是 $4$，那么点 $P$ 到左准线的距离是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由 $a=8$
2. 步骤2：$b=6$
3. 步骤3：$c=10$ 与 $|P{F}_2|=4$ 得 $e{x}_P=12$
4. 步骤4：$x_P=9.6$

✅【答案】

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$16$

✍【详细解析】

Abstract

由方程得 $a=8$，$b=6$，$c=10$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}$，右焦点 $F_2(10,0)$，左准线 $x=-\frac{a^2}{c}=-6.4$。 P 到右焦点的距离最小值为 $c-a=2$（右支顶点处），故 $|P{F}_2|=4$ 可取，且 $P$ 在右支。 由焦半径公式 $|P{F}_2|=e{x}_P-a$，得 $\frac{5}{4}{x}_P-8=4$，$x_P=9.6$。 P 到左准线的距离为 $x_P+6.4=9.6+6.4=16$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线焦半径公式 $|P{F}_2|=e{x}_P-a$（右支）；两准线方程；距离的坐标表示。

核心方法：定基本量 → 焦半径反求横坐标 → 竖直距离求到准线距离。

避坑指南：先用 $c-a=2<4$ 确认 $P$ 在右支、范围可行；到左准线的距离是 $x_P-(-6.4)=x_P+6.4$，负号处理错会得 $3.2$ 之类的错误答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线焦半径与准线距离问题，2014 四川文 11、2012 江苏卷 08 与本题同练离心率的桥梁作用。

结论推广：本题也可由第二定义链式求解：P 到右准线（$x=6.4$）距离 $=x_P-6.4=3.2$，而 $\frac{|P{F}_2|}{d_{右准线}}=e$ 给出 $3.2\times \frac{5}{4}=4$ ✓，再由两准线间距 $2\frac{a^2}{c}=12.8$ 得 $16-3.2=12.8$ 自洽。

方法推广：焦半径公式按「左加右减」记忆：右支点 $|P{F}_2|=ex-a$、$|P{F}_1|=ex+a$；求到准线距离时先写准线方程再作差。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷文-11 填-双曲线离心率
• 2012-江苏卷-08 填-双曲线离心率
• 2012-四川卷文-09 单-抛物线焦半径