2011-四川卷文-16 填-单函数新定义

本题导读

本题考查函数的新定义（单射），以及命题真假的判定。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 函数 $f(x)$ 的定义域为 $A$，若 $x_1$，$x_2\in A$ 且 $f(x_1)=f(x_2)$ 时总有 $x_1=x_2$，则称 $f(x)$ 为单函数. 例如，函数 $f(x)=2x+1$（$x\in \mathbf{R}$）是单函数. 下列命题： ①函数 $f(x)=x^2$（$x\in \mathbf{R}$）是单函数； ②$f(x)=2^x$（$x\in \mathbf{R}$）是单函数； ③若 $f(x)$ 为单函数，$x_1$，$x_2\in A$ 且 $x_1\ne x_2$，则 $f(x_1)\ne f(x_2)$； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是$\underline{}$.（写出所有真命题的编号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：按定义「不同的 $x$ 对应不同的函数值」逐项检验四个命题

✅【答案】

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②③④

✍【详细解析】

Abstract

①$f(x)=x^2$：取 $x_1=1$，$x_2=-1$，$f(x_1)=f(x_2)=1$ 但 $x_1\ne x_2$，不是单函数，假。 ②$f(x)=2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，不同的 $x$ 对应不同的函数值，是单函数，真。 ③命题③是单函数定义的逆否命题：「$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$」与「$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$」互为逆否，真假一致，故为真。 ④单调函数是一一对应的：若 $x_1\ne x_2$，不妨设 $f$ 单调递增，则 $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$，$f(x_1)=f(x_2)$ 时必有 $x_1=x_2$，真。 综上，真命题是②③④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：单射（一一对应）的定义；逆否命题的等价性；单调性与单射的关系。

核心方法：新定义题先翻译定义，再逐项「举反例或给证明」。

避坑指南：②的 $y=2^x$ 是指数函数而①的 $y=x^2$ 偶函数必非单射，两例对比即得分水岭；③易被误认为「定义的重复叙述」而错判——它是定义的逆否，逻辑上恒等价；④的「单调性」须是整个定义域上同一方向的单调。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义 + 真命题组合是四川卷特色题型，2012 四川文 16、2014 四川文 15 与本题同为「定义翻译 + 逐项判定」结构。

结论推广：单函数本质是单射函数；「分段且值域不重叠的单调段」也可构成单函数，说明单调只是充分条件而非必要条件（如 $y=1/x$ 在定义域上非单调却是单射）。

方法推广：新定义真命题题的通用动作：先举反例否掉最可疑的一项，再用「定义 ⟺ 逆否」补充逻辑项，最后对剩余项逐一给证明。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-四川卷文-16 填-不等式真命题判断
• 2014-四川卷文-15 填-新定义真命题
• 2015-四川卷文-15 填-真命题判定