2014-四川卷文-15 填-新定义真命题

本题导读

$A$ 即值域为 $\mathbf{R}$，$B$ 即有界函数；逐条判定 ①②③④。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 以 $A$ 表示值域为 $\mathbf{R}$ 的函数组成的集合，$B$ 表示具有如下性质的函数 $\phi (x)$ 组成的集合：对于函数 $\phi (x)$，存在一个正数 $M$，使得函数 $\phi (x)$ 的值域包含于区间 $[-M,M]$. 例如，当 ${\phi }_1(x)=x^3$，${\phi }_2(x)=\sin x$ 时，${\phi }_1(x)\in A$，${\phi }_2(x)\in B$. 现有如下命题： ①设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，则"$f(x)\in A$"的充要条件是”$\forall b\in \mathbf{R}$，$\exists a\in D$，$f(a)=b$”； ②函数 $f(x)\in B$ 的充要条件是 $f(x)$ 有最大值和最小值； ③若函数 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域相同，且 $f(x)\in A$，$g(x)\in B$，则 $f(x)+g(x)\notin B$； ④若函数 $f(x)=a\ln (x+2)+\frac{x}{x^2+1}$（$x>-2$，$a\in \mathbf{R}$）有最大值，则 $f(x)\in B$. 其中的真命题有＿＿＿＿.（写出所有真命题的序号）

🔍【思路分析】

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①按值域定义判定；②找有界但无最值的反例；③反证：若 $f+g$ 有界则 $f$ 有界；④讨论 $a$ 的符号。

✅【答案】

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①③④

✍【详细解析】

Abstract

①"$f(x)\in A$"即值域为 $\mathbf{R}$，等价于每个实数 $b$ 都能取到，是真命题。 ②$\phi (x)=\arctan x$ 值域 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 有界但无最大最小值，故”有最大值和最小值”不是必要条件，是假命题。 ③若 $f+g\in B$，则 $f=(f+g)-g$ 是两个有界函数之差，也有界，与 $f\in A$（值域为 $\mathbf{R}$）矛盾，故 $f+g\notin B$，是真命题。 ④$\frac{x}{x^2+1}\in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 有界。$a>0$ 时 $x\to +\infty$，$f\to +\infty$ 无最大值；$a<0$ 时 $x\to -2^{+}$，$a\ln (x+2)\to +\infty$ 无最大值。故有最大值时必 $a=0$，此时 $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ 有最大值 $\frac{1}{2}$、最小值 $-\frac{1}{2}$，值域 $\subset [-1,1]$，$f\in B$，是真命题。 综上，真命题为 ①③④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数新定义与命题真假判定

2. 核心方法：按定义逐条构造反例或给证明

3. 避坑指南：$\phi \in B$ 只要求有界，不要求取得最大最小值（如 $\arctan x$）；判断 $f+g$ 的有界性用"$f=(f+g)-g$"的反证思路。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的有界性、值域与命题真假的判定。

2. 结论推广: $A$：值域为 $\mathbf{R}$；$B$：值域含于某个 $[-M,M]$（即有界）。

3. 方法推广: 新定义题把抽象条件翻译成”值域性质”，逐条用反例或反证检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2015-四川卷文-15 填-真命题判定
• 2014-天津卷文-20 解-集合新定义