2015-四川卷文-15 填-真命题判定

本题导读

① $2^x$ 递增恒成立；② 取 $a=-8$ 反例；③ $\phi (x)=2^x-x^2-ax$ 当 $a$ 足够负时严格单调，无两点等值；④ $h(x)=2^x+x^2+ax$ 先减后增必有两点等值。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(文)） 已知函数 $f(x)=2^x$，$g(x)=x^2+ax$（其中 $a\in \mathbf{R}$）.对于不相等的实数 $x_1$，$x_2$，设 $m=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$，$n=\frac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}$，现有如下命题：

① 对于任意不相等的实数 $x_1$，$x_2$，都有 $m>0$；

② 对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_1$，$x_2$，都有 $n>0$；

③ 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1$，$x_2$，使得 $m=n$；

④ 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1$，$x_2$，使得 $m=-n$.

其中的真命题有（写出所有真命题的序号）$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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① $2^x$ 递增恒成立；② 取 $a=-8$ 反例；③ $\phi (x)=2^x-x^2-ax$ 当 $a$ 足够负时严格单调，无两点等值；④ $h(x)=2^x+x^2+ax$ 先减后增必有两点等值。真命题为 ①④。

✅【答案】

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①④

✍【详细解析】

Abstract

①：$f(x)=2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，任意 $x_1\ne x_2$ 都有 $m>0$，正确。

②：$n$ 的符号由 $g^{\prime }=2x+a$ 决定。取 $a=-8$，则 $g(x)=x^2-8x$ 在 $x<4$ 上单调递减，取 $x_1=1$，$x_2=2$，$n=g(1)-g(2)<0$，②错误。

③：$m=n$ 即存在 $x_1\ne x_2$ 使 $f(x_1)-g(x_1)=f(x_2)-g(x_2)$。记 $\phi (x)=2^x-x^2-ax$，${\phi }^{\prime }(x)=2^x\ln 2-2x-a$，其最小值在 $2^x(\ln 2{)}^2=2$ 处取得，最小值约为 $-1.24-a$。当 $a\le -2$ 时 ${\phi }^{\prime }(x)>0$ 恒成立，$\phi$ 严格单调递增，不存在两点函数值相等，③错误。

④：$m=-n$ 即 $f(x_1)+g(x_1)=f(x_2)+g(x_2)$。记 $h(x)=2^x+x^2+ax$，$h^{\prime }(x)=2^x\ln 2+2x+a$：$x\to -\infty$ 时 $h^{\prime }\to -\infty$，$x\to +\infty$ 时 $h^{\prime }\to +\infty$，且 $h^{\prime \prime }=2^x(\ln 2{)}^2+2>0$ 恒成立，故 $h$ 先严格减后严格增，最小值两侧函数值连续变化趋于 $+\infty$，必存在两点取相同值，④对任意 $a$ 成立。

综上，真命题为 ①④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：以增长率（割线斜率）为背景的命题真假判定

核心方法：把 $m$、$n$ 识别为割线斜率，转化为单调性；存在性命题构造辅助函数 $\phi$、$h$ 用导数定性

避坑指南：②④的关键是构造反例与辅助函数：②的 $a=-8$ 反例要取具体数值；④中”$h$ 先减后增且两端趋 $+\infty$“保证水平线必交两点，漏掉凹凸性论证会误判 ④ 错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：以平均变化率（割线斜率）包装单调性与存在性命题是 2015 年四川卷的创新填空，2015 年四川卷理第 15 题同题（文理同题），2014 年四川卷理第 15 题亦为命题判定。

结论推广：割线斜率 $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$ 恒正 $⟺$ 函数单调递增；“存在两点使 $f(x_1)\pm g(x_1)=f(x_2)\pm g(x_2)$“统一转化为辅助函数 $f\pm g$ 是否严格单调。

方法推广：命题真假判定题：全称命题找单调性（或反例），存在性命题构造辅助函数看导数是否变号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2015-四川卷理-15 填-导数几何意义
• 2014-四川卷理-15 填-函数的值域与定义域