2011-四川卷理-10 单-导数

本题导读

本题考查抛物线的割线与切线方程，以及导数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 在抛物线 $y=x^2+ax-5(a\ne 0)$ 上取横坐标为 $x_1=-4,x_2=2$ 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 $5x^2+5y^2=36$ 相切，则抛物线顶点的坐标为 ()

A. $(-2,-9)$　　　B. $(0,-5)$　　　C. $(2,-9)$　　　D. $(1,-6)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求两点割线的斜率：

• 抛物线上两点 $A(-4,y_1),B(2,y_2)$，由二次函数割线斜率公式 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=(x_1+x_2)+a=-2+a$。

2. 设平行于割线的切线方程为 $y=kx+b$，即 $kx-y+b=0$：

• 该直线与抛物线相切，由导数 $y^{\prime }=2x+a=k=a-2$，得到切点的横坐标 $x_0=-1$；
• 代入切点横坐标求出切线截距 $b$ 关于 $a$ 的代数表达式。

3. 利用直线与圆 $x^2+y^2=\frac{36}{5}$ 相切：

• 圆心 $(0,0)$ 到切线的距离等于半径 $r=\frac{6}{\sqrt{5}}$，即 $\frac{|b|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$。

4. 联立解出 $a$，进而写出抛物线顶点坐标。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设抛物线为 $f(x)=x^2+ax-5$。 割线经过抛物线上横坐标为 $x_1=-4$ 和 $x_2=2$ 的两点，其割线斜率为： $k=\frac{f(2)-f(-4)}{2-(-4)}=\frac{(4+2a-5)-(16-4a-5)}{6}=\frac{6a-12}{6}=a-2$ 设平行于该割线且与抛物线相切的切线为 $l:y=kx+m$，其中 $k=a-2$。 由导数几何意义，抛物线在切点 $(x_0,y_0)$ 处的导数为： $y^{\prime }=2x_0+a=k⟹2x_0+a=a-2⟹x_0=-1$ 切点纵坐标为： $y_0=(-1{)}^2+a(-1)-5=1-a-5=-a-4$ 将切点 $(-1,-a-4)$ 代入切线方程 $y=kx+m$： $-a-4=(a-2)(-1)+m⟹-a-4=-a+2+m⟹m=-6$ 因此切线方程为： $(a-2)x-y-6=0$

圆的方程为 $5x^2+5y^2=36$，即 $x^2+y^2=\frac{36}{5}$， 其圆心为原点 $(0,0)$，半径 $r=\sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$。 因为切线与该圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径： $d=\frac{|(a-2)\cdot 0-0-6|}{\sqrt{(a-2{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{6}{\sqrt{(a-2{)}^2+1}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$ 两边约去 6，得： $\sqrt{(a-2{)}^2+1}=\sqrt{5}⟹(a-2{)}^2+1=5⟹(a-2{)}^2=4$ 解得： $a-2=2⟹a=4\text{或}a-2=-2⟹a=0$ 因为已知条件明确给出 $a\ne 0$，所以： $a=4$

将 $a=4$ 代入抛物线方程： $y=x^2+4x-5=(x+2{)}^2-9$ 所以抛物线的顶点坐标为 $(-2,-9)$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二次函数的割线斜率、利用导数求切线方程、圆的切线与点线距离公式。
• 核心方法：
• 二次函数割线斜率结论：$y=A{x}^2+Bx+C$ 上两点割线斜率必为 $k=A(x_1+x_2)+B$，可直接口算得 $k=a-2$；
• 几何法算圆的切线：利用 $d=r$ 列方程比直接联立判别式 $\Delta =0$ 简捷得多。
• 避坑指南：解二次方程求得 $a=0$ 或 $a=4$，切勿漏看题干中 $a\ne 0$ 的限制条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：拉格朗日中值定理（Lagrange Mean Value Theorem）的几何模型：二次函数上两点连线的斜率，恰好在两点横坐标的中点 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$ 处的切线斜率处取得。
• 结论推广：对任意抛物线 $y=A{x}^2+Bx+C$，平行于割线 $x\in [x_1,x_2]$ 的切线，其切点横坐标恒为 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性
• 2013-广东卷理-20 解-抛物线方程
• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义