2011-四川卷理-16 填-函数单调性

本题导读

本题考查单调函数的定义与新定义辨析，以及原命题与逆否命题的等价性。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 函数 $f(x)$ 的定义域为 $A$，若 $x_1,x_2\in A$ 且 $f(x_1)=f(x_2)$ 时总有 $x_1=x_2$，则称 $f(x)$ 为单函数.例如，函数 $f(x)=2x+1(x\in \mathbf{R})$ 是单函数.下列命题： ① 函数 $f(x)=x^2(x\in \mathbf{R})$ 是单函数； ② 若 $f(x)$ 为单函数，$x_1,x_2\in A$ 且 $x_1\ne x_2$，则 $f(x_1)\ne f(x_2)$； ③ 若 $f:A\to B$ 为单函数，则对于任意 $b\in B$，它至多有一个原象； ④ 函数 $f(x)$ 在某区间上具有单调性，则 $f(x)$ 一定是单函数. 其中的真命题是$\underline{}$.（写出所有真命题的编号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题 ①：检验 $f(x)=x^2(x\in \mathbf{R})$ 是否为单函数。取 $x_1=-1,x_2=1$，虽然 $x_1\ne x_2$，但 $f(-1)=f(1)=1$，故不是单函数（假命题）。
2. 分析命题 ②：考查单函数定义的逆否命题。若 $f(x)$ 为单函数，由“若 $p$ 则 $q$”等价于“若 $\neg q$ 则 $\neg p$”，即当 $x_1\ne x_2$ 时必有 $f(x_1)\ne f(x_2)$（真命题）。
3. 分析命题 ③：理解单射（单函数）的集合论定义。若 $f$ 为单函数，则 $B$ 中的元素在 $A$ 中对应的原象个数至多为 1（真命题）。
4. 分析命题 ④：考查单调性与单函数的关系。若函数在某区间上单调递增或单调递减，则该区间上不同的自变量必定对应不同的函数值，即满足单函数定义（真命题）。

✅【答案】

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②③④

✍【详细解析】

Abstract

逐一对四个命题进行严密判定：

• 对 ①：对于函数 $f(x)=x^2(x\in \mathbf{R})$，当取 $x_1=-1,x_2=1$ 时，$x_1\ne x_2$，但 $f(x_1)=f(x_2)=1$，不满足单函数的定义，故 ① 是假命题；
• 对 ②：命题“若 $x_1,x_2\in A$ 且 $f(x_1)=f(x_2)$ 时总有 $x_1=x_2$”的逆否命题为：“若 $x_1\ne x_2$，则 $f(x_1)\ne f(x_2)$”。原命题与逆否命题同真同假，故若 $f(x)$ 为单函数，则当 $x_1\ne x_2$ 时必有 $f(x_1)\ne f(x_2)$，故 ② 是真命题；
• 对 ③：根据单函数的定义，若 $f:A\to B$ 为单函数，则方程 $f(x)=b$（其中 $b\in B$）至多有一个解。也就是说，对于任意 $b\in B$，它在定义域 $A$ 中的原象个数至多有一个，故 ③ 是真命题；
• 对 ④：若函数 $f(x)$ 在某区间上具有严格单调性（单调递增或单调递减），则在该区间上，若 $x_1\ne x_2$，必有 $f(x_1)\ne f(x_2)$，这与单函数的定义完全等价，故 ④ 是真命题。

综上所述，其中的真命题是 ②③④。 故答案为：②③④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：单函数（单射）的定义、原命题与逆否命题的等价性、单调性与单值对应的关系。
• 核心方法：
• 举反例法：推翻命题 ① 只需找到一组互为相反数但平方相等的数即可；
• 逻辑等价法：利用逆否命题直接判定命题 ② 的正误。
• 避坑指南：切勿混淆单函数与奇偶性概念，偶函数因存在 $f(-x)=f(x)$ 绝不可能是定义域关于原点对称的单函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：改编自高等数学集合论与映射中关于“单射（Injective mapping）”的基本概念辨析题。
• 结论推广：若函数 $f(x)$ 在其定义域的某个子区间上严格单调，则其在该子区间上必为单函数；反之，单函数不一定在整个定义域上单调（如分段单调函数）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-17 填-充要条件
• 2008-江苏卷-20 解-绝对值分段函数
• 2010-湖北卷文-10 单-向量夹角与充分条件