2011-四川卷理-18 解-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量及其概率分布。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多. 某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）. 有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）. 设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 $\frac{1}{4}$、$\frac{1}{2}$；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$；两人租车时间都不会超过四小时.

(1) 求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

(2) 设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 $\xi$，求 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

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1. 分析租车费用计费规则：

• 租车时间 $t\in (0,2]$ 小时：费用为 0 元；
• 租车时间 $t\in (2,3]$ 小时（超过两小时且不超过三小时，不足一小时按一小时计算，即计费 1 小时）：费用为 $1\times 2=2$ 元；
• 租车时间 $t\in (3,4]$ 小时（超过三小时且不超过四小时，不足一小时按一小时计算，即计费 2 小时）：费用为 $2\times 2=4$ 元。

2. 确定甲、乙各自的租车时间和对应费用的概率分布：

• 甲：
• $P(t_{甲}⩽2)=\frac{1}{4}$，费用 $X_{甲}=0$ 元；
• $P(2<t_{甲}⩽3)=\frac{1}{2}$，费用 $X_{甲}=2$ 元；
• $P(3<t_{甲}⩽4)=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，费用 $X_{甲}=4$ 元。
• 乙：
• $P(t_{乙}⩽2)=\frac{1}{2}$，费用 $X_{乙}=0$ 元；
• $P(2<t_{乙}⩽3)=\frac{1}{4}$，费用 $X_{乙}=2$ 元；
• $P(3<t_{乙}⩽4)=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，费用 $X_{乙}=4$ 元。

3. 对 (1)：列举甲、乙费用相同的所有互斥情况（均为 0 元、均为 2 元、均为 4 元），利用相互独立事件概率公式相加。
4. 对 (2)：确定费用之和 $\xi =X_{甲}+X_{乙}$ 的所有可能取值，计算各取值的概率，列出分布列并求数学期望。

✅【答案】

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(1) 待补

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✍【详细解析】

Abstract

根据题意，设甲所付的租车费用为 $X_{甲}$，乙所付的租车费用为 $X_{乙}$（单位：元）。

• 对甲：
• 时间 $t_{甲}⩽2$ 小时的概率为 $\frac{1}{4}$，此时费用 $X_{甲}=0$；
• 时间 $2<t_{甲}⩽3$ 小时的概率为 $\frac{1}{2}$，此时费用为 $1\times 2=2$ 元，即 $X_{甲}=2$；
• 时间 $3<t_{甲}⩽4$ 小时的概率为 $1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，此时费用为 $2\times 2=4$ 元，即 $X_{甲}=4$。
• 对乙：
• 时间 $t_{乙}⩽2$ 小时的概率为 $\frac{1}{2}$，此时费用 $X_{乙}=0$；
• 时间 $2<t_{乙}⩽3$ 小时的概率为 $\frac{1}{4}$，此时费用为 $1\times 2=2$ 元，即 $X_{乙}=2$；
• 时间 $3<t_{乙}⩽4$ 小时的概率为 $1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，此时费用为 $2\times 2=4$ 元，即 $X_{乙}=4$。

(1) 记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件 $A$，则： $A=(X_{甲}=0\text{ 且 }{X}_{乙}=0)\cup (X_{甲}=2\text{ 且 }{X}_{乙}=2)\cup (X_{甲}=4\text{ 且 }{X}_{乙}=4)$ 因为甲、乙两人相互独立，所以： $P(X_{甲}=0)=\frac{1}{4},P(X_{甲}=2)=\frac{1}{2},P(X_{甲}=4)=\frac{1}{4}$ $P(X_{乙}=0)=\frac{1}{2},P(X_{乙}=2)=\frac{1}{4},P(X_{乙}=4)=\frac{1}{4}$ 利用相互独立事件的概率乘法与加法公式： $P(A)=P(X_{甲}=0)P(X_{乙}=0)+P(X_{甲}=2)P(X_{乙}=2)+P(X_{甲}=4)P(X_{乙}=4)$ $=\left(\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)$ $=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{2}{8}+\frac{1}{16}=\frac{4}{16}+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$ 故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 $\frac{5}{16}$。

(2) 随机变量 $\xi =X_{甲}+X_{乙}$ 表示甲、乙两人所付的租车费用之和，$\xi$ 的可能取值为 $0,2,4,6,8$。 分别计算各取值的概率：

• $\xi =0$（即 $X_{甲}=0,X_{乙}=0$）： $P(\xi =0)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
• $\xi =2$（即 $(X_{甲}=0,X_{乙}=2)\cup (X_{甲}=2,X_{乙}=0)$）： $P(\xi =2)=\left(\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}+\frac{1}{4}=\frac{5}{16}$
• $\xi =4$（即 $(X_{甲}=0,X_{乙}=4)\cup (X_{甲}=2,X_{乙}=2)\cup (X_{甲}=4,X_{乙}=0)$）： $P(\xi =4)=\left(\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{5}{16}$
• $\xi =6$（即 $(X_{甲}=2,X_{乙}=4)\cup (X_{甲}=4,X_{乙}=2)$）： $P(\xi =6)=\left(\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$
• $\xi =8$（即 $X_{甲}=4,X_{乙}=4$）： $P(\xi =8)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$ （检验概率和：$\frac{1}{8}+\frac{5}{16}+\frac{5}{16}+\frac{3}{16}+\frac{1}{16}=\frac{2+5+5+3+1}{16}=1$，正确）。

所以，$\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	2	4	6	8
$P$	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$

数学期望为： $E\xi =0\times \frac{1}{8}+2\times \frac{5}{16}+4\times \frac{5}{16}+6\times \frac{3}{16}+8\times \frac{1}{16}$ $=\frac{0+10+20+18+8}{16}=\frac{56}{16}=\frac{7}{2}=3.5\text{（元）}$ （亦可利用期望的线性性质简化计算：$E\xi =E{X}_{甲}+E{X}_{乙}$。其中 $E{X}_{甲}=0\times \frac{1}{4}+2\times \frac{1}{2}+4\times \frac{1}{4}=1+1=2$，$E{X}_{乙}=0\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{4}+4\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，故 $E\xi =2+\frac{3}{2}=3.5$ 元）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段计费模型的概率转化、离散型随机变量分布列、数学期望计算及线性性质的应用。
• 核心方法：
• 细心划分时间段：明确 $2<t⩽3$ 计费 2 元， $3<t⩽4$ 计费 4 元；
• 利用期望线性性质：$E(X+Y)=EX+EY$ 可以快速验算和得出期望结果。
• 避坑指南：计算第三段（3至4小时）概率时，切记用全概率 $1$ 减去前两段概率，不要误以为题目漏给。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版/川教版高中数学概率统计大题中经典的“计费模型与离散型随机变量”应用题。
• 结论推广：对于独立的随机变量之和，其期望值恒等于各自期望值之和，不受变量间是否独立或分布形态限制。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2013-湖北卷理-09 单-数学期望
• 2013-陕西卷理-19 解-古典概型