2012-四川卷文-19 解-线面角与二面角

本题导读

本题考查直线与平面所成的角。核心在于坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$\angle APB=90^{\circ }$，$\angle PAB=60^{\circ }$，$AB=BC=CA$，点 $P$ 在平面 $ABC$ 内的射影 $O$ 在 $AB$ 上.

(1)求直线 $PC$ 与平面 $ABC$ 所成角的正弦值；

(2)求二面角 $B-AP-C$ 的余弦值.

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🔍【思路分析】

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取正三角形 $ABC$ 边长为 $1$，由 $\angle PAB=60^{\circ }$ 与 $\angle APB=90^{\circ }$ 定出 $t=\frac{1}{4}$、$h=\frac{\sqrt{3}}{4}$，于是 $|PC|=1$，线面角正弦为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$；二面角余弦为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$。

✅【答案】

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(1)$\frac{\sqrt{3}}{4}$；(2)$\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）取 $AB=BC=CA=1$，建立空间直角坐标系：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$。

因为 $O$ 在 $AB$ 上，设 $O(t,0,0)$；又 $PO\perp$ 平面 $ABC$，设 $P(t,0,h)$（$h>0$）。

由 $\angle PAB=60^{\circ }$：$\overrightarrow{AP}=(t,0,h)$，$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$，故

$\frac{t}{\sqrt{t^2+h^2}}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，即 $h^2=3t^2$。

由 $\angle APB=90^{\circ }$：$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$，而 $\overrightarrow{PA}=(-t,0,-h)$，$\overrightarrow{PB}=(1-t,0,-h)$，故

$-t(1-t)+h^2=0$，即 $h^2=t(1-t)$。

联立得 $3t^2=t(1-t)$，由 $t>0$ 解得 $t=\frac{1}{4}$，$h=\frac{\sqrt{3}}{4}$。

于是 $\overrightarrow{PC}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{2}-0,0-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\left(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$，

$|\overrightarrow{PC}|=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{3}{4}+\frac{3}{16}}=1$。

平面 $ABC$ 即 $xOy$ 平面，其法向量为 $(0,0,1)$，故直线 $PC$ 与平面 $ABC$ 所成角的正弦值等于方向向量竖直分量绝对值与模之比：

$\sin \theta =\frac{\left|\frac{\sqrt{3}}{4}\right|}{1}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。

（2）平面 $BAP$ 即平面 $y=0$（因为 $A$、$B$、$P$ 三点的纵坐标均为 $0$），取法向量 ${\mathbf{n}}_1=(0,1,0)$。

又 $\overrightarrow{AP}=\left(\frac{1}{4},0,\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$，$\overrightarrow{AC}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$。平面 $CAP$ 的一个法向量为

${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{AC}=\left(0\times 0-\frac{\sqrt{3}}{4}\times \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{4}\times 0,\frac{1}{4}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-0\times \frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{3}{8},\frac{\sqrt{3}}{8},\frac{\sqrt{3}}{8}\right)$。

取锐角，则二面角 $B-AP-C$ 的余弦为

$\cos \phi =\frac{\left|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2\right|}{\left|{\mathbf{n}}_1\right|\left|{\mathbf{n}}_2\right|}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{15}}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面角的定义（斜线与其射影的夹角）；二面角的向量求法；三棱锥中的坐标建模

核心方法：用”两个已知角 + 射影在 $AB$ 上”定出顶点坐标，把空间角问题全部交给向量公式

避坑指南：（1）平面 $ABC$ 的法向量就是竖直方向，因此线面角的正弦等于方向向量竖直分量与模之比，不必再求一次余弦的绝对值；（2）$P$ 的横坐标 $t$ 由两个角的条件联立唯一确定，若漏用 $\angle APB=90^{\circ }$ 会解不出具体数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱锥中的线面角与二面角综合题，与 2012 年大纲卷文第 19 题、2013 年重庆卷理第 19 题同族。

结论推广：空间向量求角的统一公式：线面角 $\sin \theta =\frac{\left|\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}\right|}{\left|\mathbf{u}\right|\left|\mathbf{n}\right|}$（$\mathbf{u}$ 为直线方向向量，$\mathbf{n}$ 为平面法向量）；二面角余弦取两法向量夹角余弦的绝对值（按几何直观定锐钝）。

方法推广：立体几何解答题先”找竖直方向”（过顶点的垂线），把坐标系建在垂足处，所有条件都变成坐标的一次方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-19 解-线面垂直与线面角
• 2013-重庆卷理-19 解-利用空间向量求二面角
• 2014-大纲卷文-19 解-三垂线与二面角