2011-大纲卷文-22 解-椭圆与四点共圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与焦点，以及直线与椭圆的交点。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 为椭圆 $C:x^2+\frac{y^2}{2}=1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点，过 $F$ 且斜率为 $-\sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP}=\vec{0}$．

(1) 证明：点 $P$ 在 $C$ 上；

(2) 设点 $P$ 关于点 $O$ 的对称点为 $Q$，证明：$A$，$P$，$B$，$Q$ 四点在同一圆上．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 联立求 $A$、$B$ 坐标
2. 步骤2：由 $\overrightarrow{OP}=-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ 得 $P$
3. 步骤3：代方程验证
4. 步骤4：(2) 构造圆 $x^2+y^2+\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}=0$ 逐一验证四点

✅【答案】

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(1) $P=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-1\right)$ 在 $C$ 上

(2) 四点均在圆 $x^2+y^2+\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}=0$ 上

✍【详细解析】

Abstract

(1) $a^2=2$，$b^2=1$，$c=1$，$F=(0,1)$。$l:y=1-\sqrt{2}x$。

代入 $C$：$x^2+\frac{(1-\sqrt{2}x{)}^2}{2}=1\Rightarrow 4x^2-2\sqrt{2}x-1=0$，

$x_A=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，$x_B=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$；对应 $y_A=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$y_B=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$。

$\overrightarrow{OP}=-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$，$P=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-1\right)$。

验证：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，故 $P$ 在 $C$ 上。

(2) $Q=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$。考虑圆 $\Gamma :x^2+y^2+\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}=0$。

代 $P$：$\frac{1}{2}+1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{3}{2}=0$；代 $Q$：$\frac{1}{2}+1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{3}{2}=0$，$P$、$Q$ 在 $\Gamma$ 上。

对直线 $l$ 上任意点 $(x,1-\sqrt{2}x)$，代圆 $\Gamma$ 左端：

$x^2+(1-\sqrt{2}x{)}^2+\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{4}(1-\sqrt{2}x)-\frac{3}{2}$

$=3x^2-2\sqrt{2}x+1+\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{3}{2}$

$=3x^2-\frac{3\sqrt{2}}{2}x-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\left(4x^2-2\sqrt{2}x-1\right)$。

$A$、$B$ 的横坐标满足 $4x^2-2\sqrt{2}x-1=0$，故该式为 $0$，即 $A$、$B$ 也在 $\Gamma$ 上，四点共圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与直线的联立；向量关系确定点；四点共圆的待定系数法（或幂定理）

核心方法：共圆证明两条路：待定系数构造过两定点（$P,Q$ 对称于 $O$）的圆再验证；或用 $\overrightarrow{XA}\cdot \overrightarrow{XB}=\overrightarrow{XP}\cdot \overrightarrow{XQ}$ 型幂等式

避坑指南：$x_A$、$x_B$ 与 $y_A$、$y_B$ 的对应（$A$ 取较小横坐标）不能错配；第(2)问把 $A$、$B$ 代圆时要用交点方程整体代入化简，逐项展开容易算错系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆中的四点共圆是解析几何与平面几何的交汇题，与 2011-新课标卷文-22（相交弦与四点共圆）、2014-大纲卷文-22（抛物线与四点共圆）同族。

结论推广：推广：过焦点弦 $AB$ 与 $P=-(A+B)$ 的构造对任意斜率 $k$ 成立；当斜率为 $-\sqrt{2}$ 时 $P$ 恰落在短轴端点对侧，圆 $\Gamma$ 的系数出现 $\frac{\sqrt{2}}{4}$、$-\frac{1}{4}$ 的简洁值。

方法推广：解析几何证明题：先算交点（韦达整体用），再构造方程验证；“整体代入”把 $x^2$ 用 $x$ 的一次式替换，是化简的核心技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-22 解-相交弦与四点共圆
• 2014-大纲卷文-22 解-抛物线与四点共圆