2010-大纲卷II文-22 解-双曲线中点弦与切圆

本题导读

考查双曲线与圆。（1）点差法 $b^2=3a^2$，$e=2$；（2）$a=1$ 时圆心恰为 $M(1,3)$，半径 $3$ 等于到 $x$ 轴距离，故相切。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 已知斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）相交于 $B$，$D$ 两点，且 $BD$ 的中点为 $M(1,3)$.

(1)求 $C$ 的离心率；

(2)设 $C$ 的右顶点为 $A$，右焦点为 $F$，$|DF|\cdot |BF|=17$，证明：过 $A$，$B$，$D$ 三点的圆与 $x$ 轴相切.

🔍【思路分析】

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1. 点差法：$\frac{x_0}{a^2}=\frac{y_0}{b^2}\cdot k\Rightarrow \frac{1}{a^2}=\frac{3}{b^2}$，$b^2=3a^2$，$e=2$。
2. $l:y=x+2$，代入得 $2x^2-4x-4-3a^2=0$。
3. $|BF|=a-e{x}_B$，$|DF|=e{x}_D-a$，乘积 $=5a^2+4a+8=17\Rightarrow a=1$。
4. $a=1$ 时 $|x_B-1|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$MB=\sqrt{2}|x_B-1|=3=MA$。
5. $M$ 为过 $A,B,D$ 的圆的圆心，半径 $3$ 等于 $M$ 到 $x$ 轴距离，故相切。

✅【答案】

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(1) $C$ 的离心率为 $2$

(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $B(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$，代入双曲线方程相减： $\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}=\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}⟺\frac{(x_1+x_2)}{a^2}=\frac{(y_1+y_2)}{b^2}\cdot \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}.$ 由中点 $M(1,3)$：$x_1+x_2=2$，$y_1+y_2=6$；又直线斜率 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=1$， 故 $\frac{2}{a^2}=\frac{6}{b^2}$，即 $b^2=3a^2$。 于是 $c^2=a^2+b^2=4a^2$，离心率 $e=\frac{c}{a}=2.$ （2）由（1），双曲线为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3a^2}=1$，$e=2$， 右顶点 $A(a,0)$，右焦点 $F(2a,0)$，直线 $l:y-3=x-1$ 即 $y=x+2$。 代入双曲线方程：$3x^2-(x+2{)}^2=3a^2$，即 $2x^2-4x-4-3a^2=0,$ 故 $x_1+x_2=2$，$x_1{x}_2=-\frac{4+3a^2}{2}$。 不妨设 $B$ 在左支、$D$ 在右支。由焦半径公式， $|BF|=a-e{x}_1,|DF|=e{x}_2-a.$ （因 $x_1⩽-a$，$x_2⩾a$。） 于是 $\begin{array}{rl}|BF|\cdot |DF|& =(a-e{x}_1)(e{x}_2-a)=ae(x_1+x_2)-a^2-e^2{x}_1{x}_2\\ & =4a-a^2+2(4+3a^2)=5a^2+4a+8.\end{array}$ 由 $5a^2+4a+8=17$，得 $5a^2+4a-9=0$，解得 $a=1$（舍负）。 下面证明 $M$ 是过 $A,B,D$ 三点的圆的圆心。 $a=1$ 时方程为 $2x^2-4x-7=0$，$x_{1,2}=1\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$。 点 $A(1,0)$：$|MA|=3$。 又 $B,D$ 在直线 $y=x+2$ 上， $|MB|=\sqrt{(x_1-1{)}^2+(y_1-3{)}^2}=\sqrt{2}|x_1-1|=\sqrt{2}\times \frac{3\sqrt{2}}{2}=3.$ 而 $M$ 为 $BD$ 中点，$|MD|=|MB|=3$。 所以 $|MA|=|MB|=|MD|=3$，即过 $A,B,D$ 三点的圆以 $M(1,3)$ 为圆心、半径为 $3$。 圆心 $M$ 到 $x$ 轴的距离恰为 $3$，等于半径， 故该圆与 $x$ 轴相切（切点即 $A(1,0)$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点差法求离心率与圆的切线证明

核心方法：中点弦点差出 $b^2=3a^2$；焦半径定 $a$；证圆心到 $x$ 轴距离等于半径

避坑指南：焦半径公式要分支：左支 $|BF|=a-e{x}_1$，右支 $|DF|=e{x}_2-a$，符号反了乘积就算错；$x_1⩽-a$、$x_2⩾a$ 的判断不可省。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点差法：两交点代入曲线方程相减，中点坐标与斜率同时出现，是中点弦问题的标准武器。

结论推广：证圆与直线相切的两条路：圆心到直线距离等于半径；或切点处半径垂直于切线。本题前者更顺。

方法推广：“过三点的圆的圆心恰为弦 $BD$ 的中点 $M$“意味着 $MA=MB$，发现这一结构比硬求圆方程优雅得多。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-19 解-双曲线准线与中点
• 2009-陕西卷文-22 解-双曲线定比面积
• 2011-江西卷文-12 填-双曲线离心率求参
• 2011-大纲卷文-22 解-椭圆与四点共圆