2011-大纲卷理-15 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与焦点，以及双曲线的定义。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 已知 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$ 的左、右焦点，点 $A\in C$，点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$，$AM$ 为 $\angle F_{1}A{F}_2$ 的平分线，则 $|A{F}_2|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定双曲线基本量 $a,b,c$，写出焦点 $F_1,F_2$ 坐标并求 $|F_{1}M|$ 与 $|M{F}_2|$ 的比值。
2. 在 $△A{F}_1{F}_2$ 中运用角平分线定理得到 $\frac{|A{F}_1|}{|A{F}_2|}=\frac{|F_{1}M|}{|M{F}_2|}$。
3. 根据点 $M(2,0)$ 的位置判断点 $A$ 在右支上，利用双曲线定义 $|A{F}_1|-|A{F}_2|=2a$ 列方程求解。

✅【答案】

点击查看答案

6

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$ 得： $a^2=9⟹a=3$，$b^2=27$。 所以 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+27}=6$。 焦点坐标为 $F_1(-6,0)$，$F_2(6,0)$。 因为点 $M(2,0)$ 在线段 $F_1{F}_2$ 上，所以： $|F_{1}M|=2-(-6)=8$， $|M{F}_2|=6-2=4$。 因为 $AM$ 为 $\angle F_{1}A{F}_2$ 的角平分线，由三角形角平分线定理得： $\frac{|A{F}_1|}{|A{F}_2|}=\frac{|F_{1}M|}{|M{F}_2|}=\frac{8}{4}=2$， 即 $|A{F}_1|=2|A{F}_2|$。 因为 $|A{F}_1|>|A{F}_2|$，所以点 $A$ 位于双曲线的右支上。 由双曲线的定义得： $|A{F}_1|-|A{F}_2|=2a=6$。 代入 $|A{F}_1|=2|A{F}_2|$，得： $2|A{F}_2|-|A{F}_2|=6⟹|A{F}_2|=6$。

故答案为：6。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线定义 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=\pm 2a$、三角形角平分线定理 $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
• 核心方法：角平分线性质转化为焦点弦段之比。
• 避坑指南：必须判断点 $A$ 在双曲线的左支还是右支，结合 $M$ 点偏向 $F_2$ 得出 $|A{F}_1|>|A{F}_2|$，进而确认在右支。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：平面几何内角平分线定理与圆锥曲线焦点三角形的经典融合。
• 结论推广：在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，若 $\angle F_{1}P{F}_2$ 的角平分线交 $x$ 轴于 $M(x_0,0)$，由焦半径比可推导 $x_0=\frac{a^2}{c}\cdot \frac{x_P}{|x_P|}$ 的关联性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 11.07 角平分线模型

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程
• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程
• 2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义