2011-天津卷理-02 单-函数

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及不等式的性质与推导关系。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 设 $x,y\in \mathbf{R}$，则“$x⩾2$ 且 $y⩾2$”是“$x^2+y^2⩾4$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性验证：若 $x⩾2$ 且 $y⩾2$，则 $x^2⩾4$，$y^2⩾4$，从而 $x^2+y^2⩾8>4$，故充分性成立。
2. 必要性验证：若 $x^2+y^2⩾4$，是否能推出 $x⩾2$ 且 $y⩾2$？例如取 $x=-3,y=0$，满足 $(-3{)}^2+0^2=9⩾4$，但显然不满足 $x⩾2$，故必要性不成立。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 充分性：当 $x\ge 2$ 且 $y\ge 2$ 时，由于 $x,y$ 均为正数，平方后得 $x^2\ge 4$，$y^2\ge 4$，两式相加得 $x^2+y^2\ge 8$，显然 $8\ge 4$ 恒成立，即 $x^2+y^2\ge 4$ 成立，故充分性成立；
• 必要性：当 $x^2+y^2\ge 4$ 时，例如取 $x=-3,y=0$，满足 $x^2+y^2=9\ge 4$，但此时 $x=-3<2$，不满足 $x\ge 2$ 且 $y\ge 2$，故必要性不成立。 综上，“$x⩾2$ 且 $y⩾2$”是“$x^2+y^2⩾4$”的充分而不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：不等式放缩、充分条件与必要条件的判定。
• 核心方法：直接推导法证明充分性，构造反例法否定必要性。
• 避坑指南：切勿直观地将平方和不等式误认为是同向可逆的。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高中数学常用逻辑用语基础题。
• 结论推广：由 $x\ge a,y\ge b$（$a,b>0$）可推出 $x^2+y^2\ge a^2+b^2$，反之不成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-03 单-充要条件判定
• 2009-四川卷文-07 单-充要条件
• 2010-江西卷文-01 单-不等式与充要条件