2011-天津卷理-06 单-两角和

本题导读

本题考查解三角形与正弦定理、余弦定理，以及三角形内角和定理。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 如图所示，在 $△ABC$ 中，$D$ 是边 $AC$ 上的点，且 $AB=AD$，$2AB=\sqrt{3}BD$，$BC=2BD$，则 $\sin C$ 的值为 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{6}}{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $BD=x$，则 $AB=AD=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，$BC=2x$。
2. 在 $△ABD$ 中，三边长分别为 $AB=\frac{\sqrt{3}}{2}x,AD=\frac{\sqrt{3}}{2}x,BD=x$，利用余弦定理求出 $\angle A$ 的余弦值（或 $\angle ADB$ 的余弦值）。
3. 进而求出 $\angle BDC$ 的余弦值。
4. 在 $△BDC$ 中，三边分别为 $BD=x,BC=2x$，以及夹角 $\angle BDC$，利用余弦定理求出 $DC$（或用正弦定理求 $\sin C$）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $BD=2k$，则由题意可得： $AB=AD=\sqrt{3}k$ $BC=4k$

在 $△ABD$ 中，由余弦定理： $\cos A=\frac{A{B}^2+A{D}^2-B{D}^2}{2\cdot AB\cdot AD}=\frac{(\sqrt{3}k{)}^2+(\sqrt{3}k{)}^2-(2k{)}^2}{2\cdot \sqrt{3}k\cdot \sqrt{3}k}=\frac{3k^2+3k^2-4k^2}{6k^2}=\frac{2k^2}{6k^2}=\frac{1}{3}$ 故 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

在 $△ABC$ 中，由正弦定理： $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$ 代入数据得： $\sin C=\frac{AB\cdot \sin A}{BC}=\frac{\sqrt{3}k\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}}{4k}=\frac{2\sqrt{6}k}{12k}=\frac{\sqrt{6}}{6}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：余弦定理求角、正弦定理边角互化。
• 核心方法：两步余弦定理或正余弦结合法。
• 避坑指南：注意相邻补角的余弦值互为相反数，即 $\cos (\angle BDC)=-\cos (\angle ADB)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：天津高考理科数学解三角形经典压轴小题。
• 结论推广：三角形中含有共线点时，常通过公共边作为桥梁，交替使用正余弦定理求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2014-陕西卷文-16 解-解三角形