2011-天津卷理-10 填-三视图还原

本题导读

本题考查三视图还原立体图形，以及圆锥与长方体的体积计算。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 一个几何体的三视图如图所示（单位：$\text{m}$），则这个几何体的体积为$\underline{}$ ${\text{m}}^3$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据正视图、侧视图和俯视图，判断该几何体为上部是圆锥、下部是长方体的组合体。
2. 确定圆锥的底面半径与高、长方体的长宽高等几何尺寸。
3. 分别计算圆锥和长方体的体积并求和。

✅【答案】

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$6+\pi$

✍【详细解析】

Abstract

根据三视图可知：

• 下部分是一个长方体，由正视图和侧视图知其长为 3、宽为 2、高为 1，其体积为： $V_{\text{长方体}}=3\times 2\times 1=6$
• 上部分是一个圆锥，由俯视图知其底面为圆（半径 $r=1$），由正视图和侧视图知其高 $h=3$，其体积为： $V_{\text{圆锥}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (1{)}^2(3)=\pi$ 因此，该几何体的总体积为： $V=V_{\text{长方体}}+V_{\text{圆锥}}=6+\pi$ 故答案为：$6+\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三视图识图、圆锥体积公式、长方体体积公式。
• 核心方法：组合体体积分解计算。
• 避坑指南：从俯视图中准确提取圆的半径（直径为 2 则半径为 1）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高中数学必修二立体几何三视图与几何体度量标准考题。
• 结论推广：复杂组合体体积通常转化为基本几何体（柱、锥、台、球）体积的加减运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷文-06 单-三视图组合体表面积
• 2008-新课标卷文-18 解-三视图体积线面平行
• 2009-天津卷文-12 填-三视图三棱柱体积