2008-山东卷文-06 单-三视图组合体表面积

本题导读

正视图上部圆 $r=1$、下部矩形 $2\times 3$，俯视图圆 $\to$ 上球下圆柱；暴露面为球面、柱侧与下底面.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()

A. $9\pi$　　　　　　　B. $10\pi$　　　　　　　C. $11\pi$　　　　　　　D. $12\pi$

🔍【思路分析】

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球 $R=1$：$4\pi R^2=4\pi$；圆柱 $r=1,h=3$：侧 $2\pi rh=6\pi$，下底 $\pi r^2=\pi$；合计 $4\pi +6\pi +\pi +\pi =12\pi$.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由三视图知几何体上部为半径 $R=1$ 的球，下部为底面半径 $r=1$、高 $h=3$ 的圆柱. 球与圆柱上底面相切于一点，暴露面包括：球面 $4\pi R^2=4\pi$，圆柱侧面 $2\pi rh=6\pi$，圆柱上、下底面 $2\pi r^2=2\pi$. 表面积 $S=4\pi +6\pi +2\pi =12\pi$，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原与组合体表面积

核心方法：圆+矩形组合还原为球叠圆柱，暴露面分块求和

避坑指南：球与圆柱上底相切仅一点，上底面仍完整暴露，别把上底”减掉”；圆柱有两个底面，侧面积 $$\begin{gathered} 2 \\ pirh \end{gathered}$$ 别漏 $r$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图还原组合体是立体几何入门题（2010 安徽文 9、2011 北京文 5）

结论推广：推广到切挖组合体，暴露面分析统一处理表面积

方法推广：球+旋转体相切的组合，切点不遮挡面积，分块求和即可

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2010-安徽卷文-09 单-三视图组合体表面积
• 2011-北京卷文-05 单-三视图表面积
• 2012-北京卷文-07 单-三视图表面积
• 2009-山东卷文-04 单-三视图还原