2011-安徽卷理-13 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量数量积，以及向量夹角公式。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） 已知向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $(\mathbf{a}+2\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=-6$，且 $|\mathbf{a}|=1,|\mathbf{b}|=2$，则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开已知等式 $(\mathbf{a}+2\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=-6$。
2. 将 $|\mathbf{a}|,|\mathbf{b}|$ 代入求出 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$。
3. 利用 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$ 求得夹角 $\theta$。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 展开向量数量积等式： $(\mathbf{a}+2\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=|\mathbf{a}{|}^2+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-2|\mathbf{b}{|}^2=-6$ 代入 $|\mathbf{a}|=1,|\mathbf{b}|=2$： $1^2+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-2\times 2^2=-6⟹1+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-8=-6⟹\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1$

设 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$（$\theta \in [0,\pi ]$）： $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{2}$ 因为 $\theta \in [0,\pi ]$，所以 $\theta =\frac{\pi }{3}$（或 $60^{\circ }$）。

答案为：$\frac{\pi }{3}$（或 $60^{\circ }$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量数量积的分配律与夹角公式 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$。
• 核心方法：代数化简法。
• 避坑指南：向量夹角的范围为 $[0,\pi ]$，结果切勿出现负角度或超出范围的值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自平面向量数量积的基础运算题。
• 结论推广：已知两向量模及线性组合的数量积，可唯一确定两向量的夹角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算