2012-北京卷文-05 单-函数零点个数

本题导读

本题考查函数的零点，以及单调性与零点存在定理。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 函数 $f(x)=x^{\frac{1}{2}}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 的零点个数为()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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$\sqrt{x}$ 递增、${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 递减，至多一个零点；$x=\frac{1}{2}$ 时两边都等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，恰 $1$ 个，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

定义域为 $[0,+\infty )$。$y=\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 单调递减，故 $f(x)$ 单调递增，至多一个零点。

取 $x=\frac{1}{2}$：$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，两者相等，故 $x=\frac{1}{2}$ 是零点。

综上恰有 $1$ 个零点，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数零点个数的判断；单调性

核心方法：“一增一减 ⟺ 至多一个交点”，再找特殊值确认存在

避坑指南：零点个数为 $1$ 的关键证据是 $x=\frac{1}{2}$ 这个精确值——别只会用零点存在定理说”在 $(0,1)$ 内有零点”，那样无法排除 $2$ 个以上的可能。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：零点个数判断题，与 2013 年天津卷文第 8 题、2013 年安徽卷文第 10 题同族。

结论推广：一般地，$x^{\frac{1}{2}}=a^x$（$0<a<1$）型方程在 $[0,+\infty )$ 上至多一解；$x=\frac{1}{2}$ 是否为解取决于 $a$ 的具体值。

方法推广：零点个数题先说”至多几个”（单调性），再说”确实有”（找点验证），两步缺一不可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.08 恒成立问题——隐零点问题
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-08 单-函数零点比较
• 2013-安徽卷文-10 单-极值复合零点