2011-安徽卷文-05 单-对数图象上的点

本题导读

本题考查对数函数的图象，以及对数运算性质。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 若点 $(a,b)$ 在 $y=\lg x$ 的图象上，$a\ne 1$，则下列点中也在此图象上的是 ()

A. $\left(\frac{1}{a},b\right)$　　　B. $(10a,1-b)$　　　C. $(10^a,b+1)$　　　D. $(a^2,2b)$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由 $b=\lg a$ 出发
2. 步骤2：用 $\lg$ 的运算律逐项检验

✅【答案】

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D$(a^2,2b)$

✍【详细解析】

Abstract

点 $(a,b)$ 在 $y=\lg x$ 上，即 $b=\lg a$（$a>0$，$a\ne 1$）。

逐项检验纵坐标是否等于横坐标的对数：

(A) $\lg \frac{1}{a}=-\lg a=-b\ne b$，排除；

(B) $\lg (10a)=1+\lg a=1+b\ne 1-b$，排除；

(C) $\lg 10^a=a$，而 $b+1=\lg a+1$，二者相等需 $a=\lg a+1$，对任意 $a$ 不成立，排除；

(D) $\lg a^2=2\lg a=2b$，成立。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数运算：$\lg \frac{1}{a}=-\lg a$，$\lg (10a)=1+\lg a$，$\lg a^2=2\lg a$；点在曲线上的含义

核心方法：把”点在图象上”翻译成”纵坐标 $=$ 横坐标的对数值”，用对数运算律统一转化

避坑指南：(B) 与 (C) 都是诱导选项：$\lg (10a)=1+b$（不是 $1-b$），$\lg 10^a=a$（不是 $b+1$）；(A) 的倒数关系给出相反数。掌握 $\lg$ 的三条运算律就能逐项干净排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数图象上的点题与 2011-四川卷文-04、2011-山东卷文-16、2011-广东卷文-04 同族。

结论推广：推广：$y=\lg x$ 图象上的点 $(a,b)$ 满足 $b=\lg a$，即 $10^b=a$；利用互化 $a=10^b$ 可快速判断形如 $(10^a,b+1)$、$(a^2,2b)$ 的点是否在图象上。

方法推广：“点在曲线上”题：一律转成坐标满足方程，再用运算性质逐项判定，不凭感觉。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-04 单-反函数图象
• 2011-山东卷文-16 填-函数零点区间
• 2011-广东卷文-04 单-函数定义域