2011-山东卷理-06 单-正弦型函数

本题导读

本题考查正弦型函数的单调性，以及三角函数的峰值与周期。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 若函数 $f(x)=\sin \omega x(\omega >0)$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ 上单调递增，在区间 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递减，则 $\omega =$ ()

A. 3　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 由函数由增变减的分界点，判定在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处取得最大值（峰值）。
2. 将 $x=\frac{\pi }{3}$ 对应到标准正弦函数的首个峰值角 $\frac{\pi }{2}$。
3. 列方程 $\omega \cdot \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$ 求解 $\omega$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\omega >0$，$f(0)=\sin 0=0$。 函数 $f(x)=\sin \omega x$ 从 $x=0$ 开始单调递增，在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处改变单调性由增转减， 这表明 $x=\frac{\pi }{3}$ 是函数 $f(x)$ 的第一个极大值点（峰值点）。 标准正弦曲线在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 单调递增，在 $\frac{\pi }{2}$ 处取得最大值。 因此满足： $\omega \cdot \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$ 解得： $\omega =\frac{3}{2}$ 检验：此时 $\omega \cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3}{4}\pi$。在 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$ 上，相位 $\omega x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right]\subset \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$，函数严格单调递减，符合题意。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦函数的极值点与单调区间交界点。
• 核心方法：找拐点（单调性转折点即为极值点）建立关于相位的方程。
• 避坑指南：必须检验第二段区间 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$ 是否完全包含在第一个递减区间内，避免周期过小导致多重波形。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版必修四正弦型函数 $y=\sin \omega x$ 单调性与初等性质的逆向求解。
• 结论推广：若 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ 在 $[a,b]$ 递增、在 $[b,c]$ 递减，则 $x=b$ 必为函数的极大值点，满足 $\omega b+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13
• 1992-全国卷理-16