2010-陕西卷理-03 单-函数

本题导读

本题考查二倍角正弦公式的应用及正弦函数的对称性与周期性判断。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 对于函数 $f(x)=2\sin x\cos x$，下列选项中正确的是()

A. 对于 $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 上是递增的

B. $f(x)$ 的图象关于原点对称

C. $f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$

D. $f(x)$ 的最大值为 $2$

🔍【思路分析】

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1. 利用二倍角公式化简 $f(x)=\sin 2x$。
2. 逐项校验函数的单调性、奇偶性（对称性）、周期与最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

利用二倍角公式化简函数： $f(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$

逐项判定：

• A项：当 $x\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 时，$2x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，此时 $\sin 2x$ 单调递减，故 A 错误；
• B项：$f(-x)=\sin (-2x)=-\sin 2x=-f(x)$，函数 $f(x)$ 为奇函数，图象关于原点对称，故 B 正确；
• C项：最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$，故 C 错误；
• D项：最大值为 $1$，故 D 错误。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角正弦公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 与正弦函数性质。
2. 核心方法：先化简为单角单名三角函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$，再研究性质。
3. 避坑指南：注意求单调区间时需将 $2x$ 整体代入基本正弦函数的单调区间计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础三角恒等变换与性质综合题。
2. 结论推广：函数 $f(x)=\sin 2x$ 关于原点 $(0,0)$ 及点 $\left(\frac{k\pi }{2},0\right)$ 成中心对称，关于直线 $x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{4}$ 成轴对称。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷理-06 单-正弦型函数
• 2011-江苏卷-09 填-正弦型函数图象定参
• 2012-大纲卷文-03 单-正弦型函数奇偶性