2009-安徽卷理-08 单-函数

本题导读

本题考查辅助角公式、正弦函数的周期性与最值。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin \omega x+\cos \omega x(\omega >0)$， $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=2$ 的两个相邻交点的距离等于 $\pi$，则 $f(x)$ 的单调递增区间是 ()

A. $\left[k\pi -\frac{\pi }{12},k\pi +\frac{5\pi }{12}\right],k\in \mathbf{Z}$　　　　B. $\left[k\pi +\frac{5\pi }{12},k\pi +\frac{11\pi }{12}\right],k\in \mathbf{Z}$

C. $\left[k\pi -\frac{\pi }{3},k\pi +\frac{\pi }{6}\right],k\in \mathbf{Z}$　　　　　　D. $\left[k\pi +\frac{\pi }{6},k\pi +\frac{2\pi }{3}\right],k\in \mathbf{Z}$

🔍【思路分析】

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1. 利用辅助角公式将复合三角函数化为单一名义正弦式 $2\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$。
2. 由函数最大值为 2，明确直线 $y=2$ 与其相邻交点的距离即为一个完整周期 $T$，由此求出 $\omega$ 的值。
3. 结合正弦函数的增区间通式 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽\Phi ⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi$，解出 $x$ 的取值范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：将已知函数利用辅助角公式进行恒等变形： $f(x)=\sqrt{3}\sin \omega x+\cos \omega x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \omega x+\frac{1}{2}\cos \omega x\right)=2\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$ 明显该正弦函数的最大值为 2。 因为 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=2$ 的交点均在其波峰（最高点）处，所以两个相邻交点之间的距离等于该函数的一个完整周期 $T$。 依题意得： $T=\pi$。 根据周期公式有： $\frac{2\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =2$。 所以解析式为： $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。

令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽2x+\frac{\pi }{6}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$。 两边同减去 $\frac{\pi }{6}$ 得： $-\frac{2\pi }{3}+2k\pi ⩽2x⩽\frac{\pi }{3}+2k\pi$ 两边同除以 2 得： $-\frac{\pi }{3}+k\pi ⩽x⩽\frac{\pi }{6}+k\pi$ 故函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k\pi -\frac{\pi }{3},k\pi +\frac{\pi }{6}\right],k\in \mathbf{Z}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$；正弦曲线最高点间距与周期的关系。
2. 核心方法：整体代换法（把 $2x+\frac{\pi }{6}$ 看作一个整体复合研究）。
3. 避坑指南：注意相邻波峰间距是 $T$。若题目中给出的是与 $y=0$ 的相邻交点，间距则为 $\frac{T}{2}$，审题时必须分清参考直线是否为最高/最低点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材三角函数的图象与性质章节中关于单调区间求解的核心母题。
2. 结论推广：对于函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$，与直线 $y=A$ 或 $y=-A$ 的相邻交点间距恒等于周期 $T$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷理-06 单-正弦型函数
• 2011-江苏卷-09 填-正弦型函数图象定参
• 2012-大纲卷文-03 单-正弦型函数奇偶性