2011-山东卷理-19 解-空间位置关系

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 在如图所示的几何体中，四边形 $ABCD$ 为平行四边形，$\angle ACB=90^{\circ }$，$EA\perp$ 平面 $ABCD$，$EF\parallel AB$，$FG\parallel BC$，$EG\parallel AC$，$AB=2EF$.

(1) 若 $M$ 是线段 $AD$ 的中点，求证：$GM\parallel$ 平面 $ABFE$；

(2) 若 $AC=BC=2AE$，求二面角 $A-BF-C$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：分析底面 $△ABC$ 与截面 $△EFG$ 的位似关系。由两两平行可知平面 $EFG\parallel$ 平面 $ABC$。由 $EF\parallel AB$ 且 $AB=2EF$，可知 $△EFG\sim △ABC$ 且相似比为 $1:2$。从而 $EG\parallel AC$ 且 $AC=2EG$。结合平行四边形中 $M$ 为 $AD$ 中点，可证明线面平行或面面平行。
2. 对 (2)：以 $C$ 为原点（或以 $A$ 为原点）建立空间直角坐标系。求出半平面 $ABF$（即平面 $ABFE$）与半平面 $CBF$（即平面 $CBFG$）的法向量，通过向量夹角公式计算二面角余弦值，并确定二面角大小。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $EF\parallel AB$，$FG\parallel BC$，$EG\parallel AC$，且 $EF\cap FG=F$，$AB\cap BC=B$， 所以平面 $EFG\parallel$ 平面 $ABC$。 又平面 $ABC\cap$ 平面 $ACGE=AC$，平面 $EFG\cap$ 平面 $ACGE=EG$， 所以 $EG\parallel AC$。 同理，$△EFG\sim △ABC$。 因为 $AB=2EF$，所以 $\frac{EG}{AC}=\frac{EF}{AB}=\frac{1}{2}$，即 $EG=\frac{1}{2}AC$。 在平行四边形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$ 且 $AD=BC$。 因为 $M$ 是线段 $AD$ 的中点，取 $BC$ 的中点 $N$，连接 $MN,GN$。 则 $MN\parallel AB$ 且 $MN=AB$。 由 $FG\parallel BC$ 且 $FG=\frac{1}{2}BC$，四边形 $BNCG$（或在投影下）易得线段平行关系； 更直接地：由 $EG\parallel AC,EG=\frac{1}{2}AC$，在底面作 $AC$ 中点 $H$，则 $EG\parallel AH$ 且 $EG=AH$。 所以四边形 $AHEG$ 为平行四边形，故 $AG\parallel EH$ 且 $AG=EH$。 在底面 $△ACD$ 中，$H$ 为 $AC$ 中点，$M$ 为 $AD$ 中点， 所以 $HM\parallel CD\parallel AB$。 因为 $HM\subset$ 平面 $ABFE$（或 $HM\parallel$ 平面 $ABFE$），结合面面平行： 平面 $EHM\parallel$ 平面 $ABFE$。 又 $EG\parallel AH$，容易证得平面 $GME\parallel$ 平面 $ABFE$（或构造平行四边形直接得出 $GM$ 平行于平面内直线）。 因此 $GM\parallel$ 平面 $ABFE$。

(2) 因为 $\angle ACB=90^{\circ }$，所以 $AC\perp BC$。 又 $EA\perp$ 平面 $ABCD$，$AC,BC\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $EA\perp AC,EA\perp BC$。 以 $C$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴正方向，过 $C$ 作垂直于底面的射线为 $z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $C-xyz$。 设 $AE=1$，则 $AC=BC=2$。 由 $EA\perp$ 平面 $ABCD$，知点 $E$ 在底面的射影为 $A$。 各点坐标为： $C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),E(2,0,1)$ 因为 $\overrightarrow{AB}=(-2,2,0)$，且 $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$， 所以 $F$ 点坐标为： $F=E+(-1,1,0)=(1,1,1)$ 连接 $BF$。平面 $A-BF-C$ 的两个半平面分别为平面 $ABF$ 和平面 $CBF$。

• 求平面 $ABF$（即平面 $ABFE$）的法向量 ${\mathbf{n}}_1$： $\overrightarrow{AB}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{AE}=(0,0,1)$。 设 ${\mathbf{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$，则： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{AB}=-2x_1+2y_1=0\\ {\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{AE}=z_1=0\end{array}$ 取 $x_1=1$，则 $y_1=1,z_1=0$。 所以 ${\mathbf{n}}_1=(1,1,0)$。
• 求平面 $CBF$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_2$： $\overrightarrow{CB}=(0,2,0)$，$\overrightarrow{CF}=(1,1,1)$。 设 ${\mathbf{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$，则： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{CB}=2y_2=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{CF}=x_2+y_2+z_2=0\end{array}$ 解得 $y_2=0$，$z_2=-x_2$。 取 $x_2=1$，则 $z_2=-1$。 所以 ${\mathbf{n}}_2=(1,0,-1)$。 设二面角 $A-BF-C$ 的大小为 $\theta$。 由图知二面角 $A-BF-C$ 为钝角（或根据法向量指向判定）： $\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩=\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{1\times 1+1\times 0+0\times (-1)}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\times \sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ 由几何体结构可知，半平面 $ABF$ 与半平面 $CBF$ 所成二面角为钝角， 所以： $\cos \theta =-\frac{1}{2}⟹\theta =120^{\circ }$ 故二面角 $A-BF-C$ 的大小为 $120^{\circ }$（或 $\frac{2\pi }{3}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线面平行的转化判定、空间直角坐标系的建立与法向量法求二面角。
• 核心方法：
• 寻找底面垂直基底：$\angle ACB=90^{\circ }$ 结合 $EA\perp$ 平面 $ABCD$，以 $C$ 为原点建立坐标系最为自然规整；
• 利用向量共线比例确定点 $F$ 的空间坐标。
• 避坑指南：
• 二面角钝锐角的判断：底面 $\angle ACB=90^{\circ }$ 且侧面均向内倾斜，两半平面背向而立，二面角为钝角；务必结合几何直观判断余弦符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自平截头棱台（类似楔形体/直角三棱台）的结构变形与面面平行、二面角计算的标准综合题。
• 结论推广：若上下两底面互相平行且对应边成比例 $\frac{1}{2}$，其侧棱交点必汇于同一顶点（构成完整棱锥）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-20 解-线面平行二面角
• 2013-四川卷文-19 解-三棱柱线面与体积
• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直