2013-四川卷文-19 解-三棱柱线面与体积

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定。核心在于相似三角形转化线段比、空间直角坐标系的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧棱 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABC$，$AB=AC=2A{A}_1=2$，$\angle BAC=120^{\circ }$，$D,D_1$ 分别是线段 $BC,B_1{C}_1$ 的中点，点 $P$ 是线段 $AD$ 上异于端点的点.

(1)在平面 $ABC$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1}BC$ 平行的直线 $l$，请说明理由，并证明直线 $l\perp$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$；

(2)设(1)中的直线 $l$ 交 $AC$ 于点 $Q$，求三棱锥 $A_1-Q{C}_{1}D$ 的体积.（锥体体积公式：$V=\frac{1}{3}Sh$，其中 $S$ 为底面面积，$h$ 为高）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 找两平面的交线：平面 $ABC$ 与平面 $A_{1}BC$ 有公共点 $B,C$，交线即 $BC$。
2. 由线面平行判定，过 $P$ 作 $l\parallel BC$ 即可；再证 $l\perp AD$（等腰三角形三线合一）与 $l\perp A{A}_1$（侧棱垂直底面）。
3. 第 (2) 问设 $\frac{AP}{AD}=t$，由相似得 $\frac{AQ}{AC}=t$，建系写出三棱锥三条棱向量，用行列式求体积。

✅【答案】

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(1)作法与证明见解析；(2)$V=\frac{\sqrt{3}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）平面 $ABC$ 与平面 $A_{1}BC$ 有公共点 $B,C$，故两平面的交线为 $BC$。 在平面 $ABC$ 内过点 $P$ 作 $l\parallel BC$，由线面平行的判定定理得 $l\parallel$ 平面 $A_{1}BC$。 理由与证明：因为 $AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，所以 $AD\perp BC$；又 $l\parallel BC$，故 $l\perp AD$。 因为 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABC$，而 $l\subset$ 平面 $ABC$，所以 $l\perp A{A}_1$。 直线 $AD$ 与 $A{A}_1$ 是平面 $AD{D}_1{A}_1$ 内两条相交直线，由线面垂直的判定定理得 $l\perp$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$。 （2）设 $\frac{AP}{AD}=t$（$0<t<1$）。在 $△ADC$ 中 $P\in AD$，过 $P$ 的直线 $l\parallel BC\parallel DC$，由相似三角形得 $\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AD}=t$，即 $Q=t\cdot AC$ 对应的分点。 建立空间直角坐标系：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(-1,\sqrt{3},0)$，$A_1(0,0,1)$，$C_1(-1,\sqrt{3},1)$，$D\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$Q(-t,\sqrt{3}t,0)$。 以 $A_1$ 为起点，三棱锥 $A_1-Q{C}_{1}D$ 的三条棱向量为 $\overrightarrow{A_{1}Q}=(-t,\sqrt{3}t,-1),\overrightarrow{A_1{C}_1}=(-1,\sqrt{3},0),\overrightarrow{A_{1}D}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-1\right).$ 由混合积公式 $6V=\left|\det \left(\begin{array}{ccc}-t& \sqrt{3}t& -1\\ -1& \sqrt{3}& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& -1\end{array}\right)\right|=\left|t\sqrt{3}-t\sqrt{3}+\sqrt{3}\right|=\sqrt{3},$ 所以 $V=\frac{\sqrt{3}}{6}$。可见 $V$ 与 $P$ 在 $AD$ 上的位置（即 $t$）无关。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行、线面垂直的判定与三棱锥体积

核心方法：平面 $ABC$ 与平面 $A_{1}BC$ 的交线为 $BC$，过 $P$ 作 $l\parallel BC$ 即得线面平行；由 $AB=AC$ 得 $AD\perp BC$ 及 $A{A}_1\perp$ 底面推出 $l\perp$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$；$6V=|\det |=\left|(-t)(-\sqrt{3})-\sqrt{3}t+\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$ → $V=\frac{\sqrt{3}}{6}$

避坑指南：证 $l\perp$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$ 的两个垂直条件缺一不可：$l\perp AD$ 来自等腰三角形三线合一，$l\perp A{A}_1$ 来自侧棱垂直底面；用坐标法求体积时务必把三条棱向量都化到同一顶点（本题取 $A_1$）为起点，否则行列式算出的不是该三棱锥的体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四川卷立体几何解答题的传统题面：棱柱 + 等腰三角形 + 参数点 $P$，用坐标法可回避几何法找高的困难。

结论推广：当所求体积与参数点位置无关时（本题 $t$ 在行列式中被消去），说明该三棱锥的底面积与高都不随 $t$ 变化，可任取 $P$ 的方便位置（如中点）代入。

方法推广：体积的混合积公式 $6V=|\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})|$ 把几何体积问题降为三阶行列式，是坐标法处理”任意点、任意底面”体积的最稳路径。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-17 解-三棱柱线面平行垂直
• 2013-新课标II卷文-18 解-线面平行与棱锥体积
• 2013-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱体积