2011-广东卷文-07 单-五棱柱对角线

本题导读

本题考查棱柱的结构特征，以及计数原理（排除法）。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ()

A. $20$　　　　　　　B. $15$　　　　　　　C. $12$　　　　　　　D. $10$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：上下底面顶点连线共 $25$ 条
2. 步骤2：减去 $5$ 条侧棱与 $10$ 条侧面对角线

✅【答案】

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D$10$ 条

✍【详细解析】

Abstract

所求对角线必须连接上、下两个底面的顶点（同一底面内的两点同在一个底面内，不合定义）。

上、下底面各 $5$ 个顶点，连接两底面顶点的线段共 $5\times 5=25$ 条。

排除两类不合条件的线段：

（i）$5$ 条侧棱，每条都位于某侧面内；

（ii）每个侧面（矩形）中连接上、下底顶点的面对角线 $2$ 条，$5$ 个侧面共 $10$ 条。

故对角线 $=25-5-10=10$ 条，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正棱柱顶点连线计数；分类排除与组合计数

核心方法：先数”全部跨底面连线”，再从定义出发扣掉侧棱与侧面对角线

避坑指南：跨底面连线才可能是对角线——同底面顶点连线在底面内直接排除；扣减时两类容易漏：侧棱 $5$ 条与每个侧面 $2$ 条对角线（$5$ 个侧面共 $10$ 条），漏掉任一类会错选 A 或 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱柱计数题与 2012-安徽卷文-12、2012-辽宁卷文-18、2012-陕西卷文-18 同族。

结论推广：推广：正 $n$ 棱柱的对角线（按本题定义）共有 $n\times n-n-2n=n(n-3)$ 条；$n=5$ 时恰为 $10$。

方法推广：几何体计数题：先定”候选全集”（跨底面连线 $n^2$ 条），再按定义逐类排除，比正向分类更不易漏。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-12 填-三视图五棱柱体积
• 2012-辽宁卷文-18 解-直三棱柱平行与体积
• 2012-陕西卷文-18 解-直三棱柱垂直与体积