2012-辽宁卷文-18 解-直三棱柱平行与体积

本题导读

本题考查线面平行的判定。核心在于建系法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 如图，直三棱柱 $ABC-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$，$\angle BAC=90^{\circ }$，$AB=AC=\sqrt{2}$，$A{A}^{\prime }=1$，点 $M$，$N$ 分别为 $A^{\prime }B$ 和 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 的中点.

(1)证明：$MN\parallel$ 平面 $A^{\prime }AC{C}^{\prime }$；

(2)求三棱锥 $A^{\prime }-MNC$ 的体积.（锥体体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$，其中 $S$ 为底面面积，$h$ 为高）

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🔍【思路分析】

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建系得 $MN=(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$，平面 $A^{\prime }AC{C}^{\prime }$ 即 $x=0$，故 $MN\parallel$ 平面；（2）$V_{A^{\prime }-MNC}=\frac{|(\overrightarrow{A^{\prime }M},\overrightarrow{A^{\prime }N},\overrightarrow{A^{\prime }C})|}{6}=\frac{1}{6}$。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)三棱锥 $A^{\prime }-MNC$ 的体积为 $\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\angle BAC=90^{\circ }$，$A{A}^{\prime }\perp$ 平面 $ABC$，以 $A$ 为原点，$AB$，$AC$，$A{A}^{\prime }$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系。

则 $A(0,0,0)$，$B(\sqrt{2},0,0)$，$C(0,\sqrt{2},0)$，$A^{\prime }(0,0,1)$，$B^{\prime }(\sqrt{2},0,1)$，$C^{\prime }(0,\sqrt{2},1)$。

$M$ 为 $A^{\prime }B$ 的中点，$M\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{1}{2}\right)$；$N$ 为 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 的中点，$N\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$。

（1）$\overrightarrow{MN}=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$。

平面 $A^{\prime }AC{C}^{\prime }$ 过 $A(0,0,0)$，$C(0,\sqrt{2},0)$，$A^{\prime }(0,0,1)$，是坐标平面 $x=0$。

$\overrightarrow{MN}$ 的横坐标为 $0$，且 $M$ 的横坐标 $\frac{\sqrt{2}}{2}\ne 0$，即 $MN⊈$ 平面 $A^{\prime }AC{C}^{\prime }$，

所以 $MN\parallel$ 平面 $A^{\prime }AC{C}^{\prime }$。

（2）$\overrightarrow{A^{\prime }M}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,-\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{A^{\prime }N}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$，$\overrightarrow{A^{\prime }C}=(0,\sqrt{2},-1)$。

混合积

$(\overrightarrow{A^{\prime }M}\times \overrightarrow{A^{\prime }N})\cdot \overrightarrow{A^{\prime }C}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{2}}{2}& 0& -\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 0\\ 0& \sqrt{2}& -1\end{array}\right|$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\times (-1)-0\times \sqrt{2}\right)-0+\left(-\frac{1}{2}\right)\times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times 0\right)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1$。

所以 $V_{A^{\prime }-MNC}=\frac{1}{6}\times |-1|=\frac{1}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的判定（方向向量与平面平行）；空间向量求三棱锥体积（换底面）

核心方法：建系后”平面即坐标面”使平行判定一次到位；体积用向量混合积（或换底）计算

避坑指南：（1）必须说明 $MN$ 不在平面内（$M$ 的横坐标非零），只说”方向向量垂直法向量”不算完整；（2）三棱锥 $A^{\prime }-MNC$ 的四个面都不好算，用混合积（或换顶点）比作高快得多，混合积取绝对值后再除以 $6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直三棱柱中的平行与体积题，与 2013 年新课标Ⅱ文第 18 题、2013 年天津卷文第 17 题、2013 年山东卷文第 19 题同族。

结论推广：直三棱柱底面直角时建系后侧面 $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ 恰为坐标面，“平面即 $x=0$“可直接读出；任意四面体 $P-ABC$ 的体积 $V=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC})|$。

方法推广：立体几何解答题坐标法三步：建系写点 → 向量表出目标 → 用判定定理或混合积收尾；体积优先考虑换底或混合积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-18 解-线面平行与棱锥体积
• 2013-天津卷文-17 解-三棱柱线面平行垂直
• 2013-山东卷文-19 解-线面平行面面垂直