2007-广东卷文-16 解-坐标向量垂直与面积求正弦

本题导读

本题考查平面向量数量积。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） 已知 $△ABC$ 顶点的直角坐标分别为 $A(3,4)$，$B(0,0)$，$C(c,0)$． （1）若 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$，求 $c$ 的值； （2）若 $c=5$，求 $\sin \angle A$ 的值．

🔍【思路分析】

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1. (1) 写坐标：$\overrightarrow{AB}=(-3,-4)$，$\overrightarrow{AC}=(c-3,-4)$。
2. 数量积 $(-3)(c-3)+(-4)(-4)=25-3c=0$，解得 $c=\frac{25}{3}$。
3. (2) $c=5$ 时 $|AB|=5$，$|AC|=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$，$BC=5$。
4. 以 $BC$ 为底，$A$ 到 $x$ 轴的距离 4 即高，$S=\frac{1}{2}\times 5\times 4=10$。
5. $\sin \angle A=\frac{2S}{|AB|\cdot |AC|}=\frac{20}{10\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

✅【答案】

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（1）$c=\frac{25}{3}$；（2）$\sin \angle A=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$\overrightarrow{AB}=(-3,-4)$，$\overrightarrow{AC}=(c-3,-4)$， $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-3)(c-3)+(-4)(-4)=25-3c$． 由题设 $25-3c=0$，所以 $c=\frac{25}{3}$． （2）当 $c=5$ 时，$|AB|=5$，$|AC|=\sqrt{(5-3{)}^2+(-4{)}^2}=2\sqrt{5}$，且 $BC=5$． 以 $BC$ 为底（在 $x$ 轴上），点 $A$ 到 $x$ 轴的距离 4 即三角形的高，所以 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times 5\times 4=10$．于是 $\sin \angle A=\frac{2S_{△ABC}}{|AB|\cdot |AC|}=\frac{20}{5\times 2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：坐标向量垂直与面积求正弦

核心方法：(1) 数量积坐标化 $25-3c=0$；(2) $\sin \angle A=\frac{2S_{△ABC}}{|AB||AC|}$

避坑指南：面积法求正弦免解角；$S=\frac{1}{2}\times BC\times 4$ 中 4 是 $A$ 的纵坐标即 $BC$ 边上的高

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：坐标向量与解三角形交汇是广东解答题 16 题传统位（2009 文 16 同型）

结论推广：$\sin A=\frac{2S}{|AB||AC|}$ 用面积桥接边角，免解角直接求正弦

方法推广：坐标背景解三角形：数量积定垂直/夹角，面积公式定正弦，两条路径按需切换

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 11.04 三角形面积公式

类题演练(Links)

• 2009-广东卷文-16 解-向量垂直与差角
• 2011-广东卷文-16 解-三角求值
• 2010-广东卷文-16 解-三角周期与求值