2011-广东卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的除法与分母实数化。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 设复数 $z$ 满足 $(1+\text{i})z=2$，其中 $\text{i}$ 为虚数单位，则 $z=$ ()

A. $1+\text{i}$　　　　　　B. $1-\text{i}$　　　　　　C. $2+2\text{i}$　　　　　　D. $2-2\text{i}$

🔍【思路分析】

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1. 由方程直接表示出 $z=\frac{2}{1+\text{i}}$。
2. 分子分母同乘共轭复数 $1-\text{i}$ 进行分母实数化求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $(1+\text{i})z=2$ 得： $z=\frac{2}{1+\text{i}}=\frac{2(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{2(1-\text{i})}{1-{\text{i}}^2}=\frac{2(1-\text{i})}{2}=1-\text{i}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数基本除法公式 $\frac{a+b\text{i}}{c+d\text{i}}$。
• 核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数化为实数。
• 避坑指南：熟记 ${\text{i}}^2=-1$，计算 $(1+\text{i})(1-\text{i})=2$ 避免符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于复数代数运算的基础性质及代数系统封闭性。
• 结论推广：若 $(a+b\text{i})z=c+d\text{i}$（$a^2+b^2\ne 0$），则 $z=\frac{ac+bd+(ad-bc)\text{i}}{a^2+b^2}$。

🔗【关联脉络】

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